(Đại học Hồng Đức – 2022) Cho (x) là số nguyên dương và (y) là số thự
C. Có tất cả bao nhiêu cặp số ((x;y)) thỏa mãn (ln (1 + x + 2y) = 2y + 3x – 10?)()
A. (10.)
B. Vô số.
C. 11.
D. 9.
Lời giải:.
Điều kiện: (1 + x + 2y > 0 Leftrightarrow y > – frac{{x + 1}}{2}).
Ta luôn chứng minh được ({e^x} ge x + 1,forall x in mathbb{R}).
Xét hàm số (y = g(x) = {e^x} – x – 1 Rightarrow gprime (x) = {e^x} – 1 = 0 Leftrightarrow x = 0).
Bảng biến thiên:
Suy ra (g(x) ge 0forall x in mathbb{R} Leftrightarrow {e^x} ge x + 1forall x in mathbb{R}).
Ta có: (ln (1 + x + 2y) = 2y + 3x – 10 Leftrightarrow 1 + x + 2y = {e^{2y + 3x – 10}} ge (2y + 3x – 10) + 1 Leftrightarrow x le 5).
Do (x in {mathbb{N}^*}), nên (x in { 1;2;3;4;5} ).
Lại có: (ln (1 + x + 2y) = 2y + 3x – 10 Leftrightarrow ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10 = 0 Leftrightarrow f(y) = 0).
Xét hàm số (f(y) = ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10) trên khoảng (left( { – frac{{x + 1}}{2}; + infty } right))
Suy ra (fprime (y) = frac{2}{{1 + x + 2y}} – 2;fprime (y) = 0 Leftrightarrow y = – frac{x}{2} in left( { – frac{{x + 1}}{2}; + infty } right))
Bảng biến thiên của hàm số (f(y) = ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10).
Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
Với một giá trị (x in { 1;2;3;4} ), phương trình (ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10 = 0) theo ẩn (y) có 2 nghiệm phân biệt. Với (x = 5) phương trình (ln (1 + x + 2y) – 2y – 3x + 10) theo ẩn (y) có 1 nghiệm.
Vậy có 9 nghiệm ((x;y)) thỏa mãn bài toán.