Giải bất phương trình dạng (fleft( x right) > 0).
Bước 1: Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của (fleft( x right))(nếu có)
Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho (fleft( x right)) mang dấu “+”
Bước 3: Các bất phương trình bậc hai có dạng (fleft( x right) < 0,fleft( x right) ge 0,fleft( x right) le 0) được giải bằng cách tương tự.
}
Lời giải chi tiết
a) (2{x^2} + 3x + 1 ge 0)
Tam thức bậc hai (fleft( x right) = 2{x^2} + 3x + 1) có 2 nghiệm phân biệt (x = – 1,x = frac{{ – 1}}{2})
hệ số (a = 2 > 0)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy (fleft( x right) ge 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x le – 1\x ge – frac{1}{2}end{array} right.)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left( { – infty ; – 1} right] cup left[ { – frac{1}{2}; + infty } right))
b) ( – 3{x^2} + x + 1 > 0)
Tam thức bậc hai (fleft( x right) = – 3{x^2} + x + 1) có 2 nghiệm phân biệt (x = frac{{1 – sqrt {13} }}{6},x = frac{{1 + sqrt {13} }}{6})
Hệ số (a = – 3 < 0)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy (fleft( x right) > 0)( Leftrightarrow frac{{1 – sqrt {13} }}{6} < x < frac{{1 + sqrt {13} }}{6})
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (left( {frac{{1 – sqrt {13} }}{6};frac{{1 + sqrt {13} }}{6}} right))
c) (4{x^2} + 4x + 1 ge 0)
Tam thức bậc hai (fleft( x right) = 4{x^2} + 4x + 1) có nghiệm duy nhất (x = frac{{ – 1}}{2})
hệ số (a = 4 > 0)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy (fleft( x right) ge 0 Leftrightarrow x in mathbb{R})
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (mathbb{R})
d) ( – 16{x^2} + 8x – 1 < 0)
Tam thức bậc hai (fleft( x right) = – 16{x^2} + 8x – 1) có nghiệm duy nhất (x = frac{1}{4})
hệ số (a = – 16 < 0)
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy (fleft( x right) < 0 Leftrightarrow x ne frac{1}{4})
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (mathbb{R}backslash left{ {frac{1}{4}} right})
e) (2{x^2} + x + 3 < 0)
Ta có (Delta = {1^2} – 4.2.3 = – 23 < 0) và có (a = 2 > 0)
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho (2{x^2} + x + 3) mang dấu “-” là (emptyset )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (2{x^2} + x + 3 < 0) là (emptyset )
g) ( – 3{x^2} + 4x – 5 < 0)
Tam thức bậc hai (fleft( x right) = – 3{x^2} + 4x – 5) có (Delta ‘ = {2^2} – left( { – 3} right).left( { – 5} right) = – 11 < 0) và có (a = – 3 < 0)
Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho ( – 3{x^2} + 4x – 5) mang dấu “-” là (mathbb{R})
Vậy tập nghiệm của bất phương trình ( – 3{x^2} + 4x – 5 < 0) là (mathbb{R})