Cho phương trình: ({sin ^3}x – 3{sin ^2}x + 2 – m = 0). Có bao nhiêu giá trị nguyên của (m) để phương trình có nghiệm:

Đặt (sin x = t;;left( { – 1 le t le 1} right).)

Khi đó ta có phương trình: ({t^3} – 3{t^2} + 2 – m = 0 Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} + 2 = m;;left( * right))

Để phương trình bài cho có nghiệm thì phương trình (left( * right))  phải có nghiệm (t in left[ { – 1;;1} right].)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (y = fleft( t right) = {t^3} – 3{t^2} + 2) và đường thẳng (y = m.)

Phương trình (*) có nghiệm (t in left[ { – 1;;1} right] Leftrightarrow ) đường thẳng (y = m) có điểm chung với đồ thị hàm số  (y = fleft( t right) = {t^3} – 3{t^2} + 2)

Xét hàm số: (y = fleft( t right) = {t^3} – 3{t^2} + 2) ta có:

(y’ = 3{t^2} – 6t Rightarrow y’ = 0 Leftrightarrow 3{t^2} – 6t = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0;; in left[ { – 1;;1} right]\t = 2; notin ;left[ { – 1;;1} right]end{array} right..)

Ta có BBT:

Theo BBT ta có, đường thẳng (y = m) và đồ thị hàm số (y = fleft( t right) = {t^3} – 3{t^2} + 2) có điểm chung ( Leftrightarrow  – 2 le m le 2)

Lại có: (m in Z Rightarrow m in left{ { – 2;; – 1;;0;;1;;2} right}.)

Chọn  C.