1.1. Đại lượng tỉ lệ nghịch
| Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức (y = frac{a}{x}) (a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. |
|---|
Chú ý: Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a và ta nói hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau.
Ví dụ: Biết rằng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 2 thì y = -4.
a) Tìm hệ số tỉ lệ a trong công thức (y = frac{a}{x}). Từ đó viết công thức tính y theo x.
b) Tìm giá trị của y khi x = 4.
c) Tìm giá trị của x khi y = 0,5.
Giải
a) Ta có a = xy = 2 . (4) = – 8. Do đó (y = frac{{ – 8}}{x}).
b) Khi x = 4 ta có (y = frac{{ – 8}}{4} = – 2).
c) Từ (y = frac{{ – 8}}{x}) suy ra (x = frac{{ – 8}}{y}). Do đó khi y = 0,5 ta có (x = frac{{ – 8}}{{0,5}} = – 16).
Do đó khi y = 0,5 ta có x m.
Nhận xét: Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:
+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (và bằng hệ số tỉ lệ):
({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = … = a) hay (frac{{{y_1}}}{{frac{1}{{{x_1}}}}} = frac{{{y_2}}}{{frac{1}{{{x_2}}}}} = frac{{{y_3}}}{{frac{1}{{{x_3}}}}} = … = a.)
+ Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
(frac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = frac{{{x_2}}}{{{x_1}}};frac{{{y_1}}}{{{y_3}}} = frac{{{x_3}}}{{{x_1}}};frac{{{y_2}}}{{{y_3}}} = frac{{{x_3}}}{{{x_2}}};…)
1.2. Một số bài toán
Để giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch, †a cần nhận biết được hai đại lượng tỉ lệ nghịch trong bài toán. Từ đó ta có thể lập các tỉ số bằng nhau và dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm các yếu tố chưa biết.
Bài toán 1: Bốn người thợ cùng làm sẽ xây xong một bức tường trong 9 ngày. Hỏi 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường đó trong bao nhiêu ngày (biết năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau)?
Giải
Gọi x (ngày) là thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường.
Vì năng suất lao động của mỗi người thợ là như nhau nên số người thợ và thời gian để họ xây xong bức tường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, ta có (frac{x}{9} = frac{4}{6})
Suy ra: (x = frac{{4.9}}{6} = 6) (ngày).
Vậy thời gian để 6 người thợ cùng xây xong bức tường là 6 ngày.
Bài toán 2: Một người mua 65 quả trứng gà gồm ba loại: loại I giá 4 nghìn đồng một quả, loại II giá 3 nghìn đồng một quả và loại III giá 2 nghìn đồng một quả. Hỏi người đó mua bao nhiêu quả trứng mỗi loại, biết rằng số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau?
Giải
Gọi x, y, z lần lượt là số quả trứng gà loại I, loại II và loại II. Ta có x+ y + z= 65.
Vì số tiền mà người đó phải trả cho mỗi loại trứng là như nhau nên
4x = 3y = 2z hay (frac{x}{{frac{1}{4}}} = frac{y}{{frac{1}{3}}} = frac{z}{{frac{1}{2}}})
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
(frac{x}{{frac{1}{4}}} = frac{y}{{frac{1}{3}}} = frac{z}{{frac{1}{2}}} = frac{{x + y + z}}{{frac{1}{4} + frac{1}{3} + frac{1}{2}}} = frac{{65}}{{frac{{13}}{{12}}}} = 60.)
Suy ra (x = frac{1}{4}.60 = 15;;;;y = frac{1}{3}.60 = 20;;;;z = frac{1}{2}.60 = 30.)
Vậy số trứng gà loại I, loại II, loại III lần lượt là 15 quả; 20 quả và 30 quả.