DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên (left( {x;y} right)) thỏa mãn điều kiện sau (0 le y le 100) và ({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0)?
A. 10.
B. 100.
C. 20.
D. 21.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tự luận:
Ta có:
(begin{array}{l}{x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\ Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} – 27{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0\ Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} + 3{x^2} + 6y = 27{y^3} + 9y\ Leftrightarrow {left( {{x^2} + 2y} right)^3} + 3left( {{x^2} + 2y} right) = {left( {3y} right)^3} + 3 cdot 3y,,,,,,left( 1 right)end{array})
Xét hàm (fleft( t right) = {t^3} + 3t).
Ta có (f’left( t right) = 3{t^2} + 3 > 0,,,forall t in mathbb{R}). Do đó (fleft( t right)) là hàm đồng biến trên (mathbb{R}).
Vì vậy, (left( 1 right) Leftrightarrow fleft( {{x^2} + 2y} right) = fleft( {3y} right) Leftrightarrow {x^2} + 2y = 3y Leftrightarrow {x^2} = y).
Theo đề bài, (0 le y le 100 Leftrightarrow 0 le {x^2} le 100 Leftrightarrow – 10 le x le 10).
Vì (x) là số nguyên nên (x in left{ { – 10; – 9;…;9;10} right}). Với mỗi (x) xác định duy nhất một giá trị (y = {x^2}).
Vậy có 21 cặp (left( {x;y} right)) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tư duy + Casio:
Ta có phương trình ({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} – 19{y^3} + 3{x^2} – 3y = 0).
Áp dụng kỹ thuật CALC (y = 0,01 Rightarrow x = 0,1 = sqrt y Rightarrow y = {x^2}).
Theo đề bài, (0 le y le 100 Leftrightarrow 0 le {x^2} le 100 Leftrightarrow – 10 le x le 10).
Vì (x) là số nguyên nên (x in left{ { – 10; – 9;…;9;10} right}). Với mỗi (x) xác định duy nhất một giá trị (y = {x^2}).
Vậy có 21 cặp (left( {x;y} right)) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========