Giải bài tập Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Chân trời)
===============
Giải bài 1 trang 37
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:
a) (left{ begin{array}{l}x + y – 3 ge 0\x ge 0\y ge 0end{array} right.)
b) (left{ begin{array}{l}x – 2y < 0\x + 3y > – 2\y – x < 3end{array} right.)
c) (left{ begin{array}{l}x ge 1\x le 4\x + y – 5 le 0\y ge 0end{array} right.)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một mặt phẳng Oxy
Lời giải chi tiết
a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.
Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.
Miền không gạch chéo (không bao gồm cạnh, các bờ) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.
Miền không gạch chéo (miền tứ giác ABCD, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải bài 2 trang 38
Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí carbon dioxide ((C{O_2})) và 0,60 kg khí sulful dioxide ((S{O_2})), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg (C{O_2}) và 0,20 kg (S{O_2}). Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng (C{O_2}) của nhà máy tối đa là 75 kg và (S{O_2})tối đa là 90 kg mỗi ngày.
a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng toạ độ.
b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không?
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi x, y lần lượt là số thùng thuốc trừ sâu loại A, loại B mà nhà máy sản xuất mỗi ngày.
Bước 2: Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.
Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Lời giải chi tiết
a) Gọi x là số thùng thuốc trừ sâu loại A, y là số thùng thuốc trừ sâu loại B mà nhà máy sản xuất mỗi ngày. Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
– Hiển nhiên (x ge 0,y ge 0)
– sản lượng (C{O_2}) tối đa là 75 kg nên (0,25x + 0,5y le 75)
– sản lượng (S{O_2}) tối đa là 90 kg nên (0,6x + 0,2y le 90)
Từ đó ta có hệ bất phương trình:
(left{ begin{array}{l}0,25x + 0,5y le 75\0,6x + 0,2y le 90\x ge 0\y ge 0end{array} right.)
Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.
Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.
b) Nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tức là (x = 100,y = 80.)
Vì (left{ begin{array}{l}0,25.100 + 0,5.80 = 65 le 75\0,6.100 + 0,2.80 = 76 le 90\100 ge 0\80 ge 0end{array} right.) nên cặp số (100; 80) là một nghiệm của hệ bất phương trình a).
Do đó việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.
c) Vì (0,25.60 + 0,5.160 = 95 > 75)nên việc sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày vượt quá sản lượng (C{O_2}) tối đa.
Vậy việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày là không phù hợp với quy định.
Giải bài 3 trang 38
Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Hướng dẫn giải chi tiết
Phương pháp giải
Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Lời giải chi tiết
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
– Hiển nhiên (x ge 0,y ge 0)
– Tổng số giờ làm không quá 10 giờ nên (2x + y le 10)
Từ đó ta có hệ bất phương trình: (left{ begin{array}{l}2x + y le 10\x ge 0\y ge 0end{array} right.(x,y in mathbb{N}))
Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.
Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.
Giải bài 4 trang 38
Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
Bước 1: Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.
Bước 2: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Lời giải chi tiết
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
– Hiển nhiên (x ge 0,y ge 0)
– Tổng số giờ vẽ không quá 30 giờ nên (2x + 3y le 30)
– Số tấm thiệp tối thiểu là 12 tấm nên (x + y ge 12)
Từ đó ta có hệ bất phương trình: (left{ begin{array}{l}2x + 3y le 30\x + y ge 12\x ge 0\y ge 0end{array} right.(x,y in mathbb{N}))
Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.
Miền không gạch chéo (miền tam giác ABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.
Với các đỉnh (A(6;6),)(B(15;0),)(C(12;0).)
Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: (F = 10x + 20y)
Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác:
Tại (A(6;6):)(F = 10.6 + 20.6 = 180)
Tại (B(15;0):)(F = 10.15 + 20.0 = 150)
Tại (C(12;0):)(F = 10.12 + 20.0 = 120)
F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại (A(6;6).)
Vậy bạn học sinh đó cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại to để có được nhiều tiền nhất.
Giải bài 5 trang 38
Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau:
a) Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.
b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi x, y lần lượt là số giờ đạp xe và tập tạ trong một tuần.
Bước 2: Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.
Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Lời giải chi tiết
Gọi x, y lần lượt là số giờ đạp xe và tập tạ trong một tuần.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
– Hiển nhiên (x ge 0,y ge 0)
– Số giờ tập thể dục tối đa là 12 giờ nên (x + y le 12)
– Tổng số calo tiêu hao một tuần không quá 7000 calo nên (350x + 700y le 7000)
Từ đó ta có hệ bất phương trình: (left{ begin{array}{l}x + y le 12\350x + 700y le 7000\x ge 0\y ge 0end{array} right.)
Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.
Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.
Với các đỉnh (O(0;0),)(A(0;10),)(B(4;8),)(C(12;0).)
a) Gọi F là chi phí luyện tập (đơn vị: nghìn đồng), ta có: (F = 50y)
Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:
Tại (O(0;0),)(F = 50.0 = 0)
Tại (A(0;10),)(F = 50.10 = 500)
Tại (B(4;8),)(F = 50.8 = 400)
Tại (C(12;0).)(F = 50.0 = 0)
F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại (O(0;0),)(C(12;0).)
Vậy bạn Mạnh cần đạp xe 12 giờ hoặc không tập thể dục..
b) Gọi T là lượng calo tiêu hao (đơn vị: calo), ta có: (T = 350x + 700y)
Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:
Tại (O(0;0),)(T = 350.0 + 700.0 = 0)
Tại (A(0;10),)(T = 350.0 + 700.10 = 7000)
Tại (B(4;8),)(T = 350.4 + 700.8 = 7000)
Tại (C(12;0),)(T = 350.12 + 700.0 = 4200)
T đạt giá trị lớn nhất bằng 7000 tại (A(0;10),)(B(4;8).)
Vậy bạn Mạnh có thể chọn một trong hai phương án: Tập tạ 10 giờ hoặc đạp xe 4 tiếng và tập tạ 8 tiếng.