Giải bài tập Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế (Chân trời)
===============
Giải bài 1 trang 77 SGK Toán 10 CTST
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) (AB = 14,AC = 23,widehat A = {125^o}.)
b) (BC = 22,4;widehat B = {64^o};widehat C = {38^o}.)
c) (AC = 22,widehat B = {120^o},widehat C = {28^o}.)
d) (AB = 23,AC = 32,BC = 44)
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
a) Bước 1: Tính BC: Áp dụng định lí cosin: (B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos A)
Bước 2: Tính góc B, C:
Cách 1: Áp dụng định lí sin: (frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}})
Cách 2: Áp dụng hệ quả của định lí cosin: (cos B = frac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{2ac}};cos C = frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{2ab}})
b), c) Bước 1: Tính góc A
Bước 2: Tính cạnh AB, AC: Áp dụng định lí sin: (frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}})
d) Tìm các góc: Áp dụng hệ quả của định lí cosin:
(left{ begin{array}{l}cos A = frac{{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}}}{{2.AB.AC}};\cos B = frac{{B{C^2} + A{B^2} – A{C^2}}}{{2.BC.BA}};\cos C = frac{{C{A^2} + C{B^2} – A{B^2}}}{{2.CA.CB}}end{array} right.)
Lời giải chi tiết
a) Ta cần tính cạnh BC và hai góc (widehat B,widehat C.)
Áp dụng định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos A\ Leftrightarrow B{C^2} = {14^2} + {23^2} – 2.14.23.cos {125^o}\ Rightarrow BC approx 33end{array})
Áp dụng định lí sin, ta có:
(begin{array}{l}frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Leftrightarrow frac{{33}}{{sin {{125}^o}}} = frac{{23}}{{sin B}} = frac{{14}}{{sin C}}\ Rightarrow sin B = frac{{23.sin {{125}^o}}}{{33}} approx 0,57\ Rightarrow widehat B approx {35^o} Rightarrow widehat C approx {20^o}end{array})
b) Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.
Ta có: (widehat A = {180^o} – widehat B – widehat C = {180^o} – {64^o} – {38^o} = {78^o})
Áp dụng định lí sin, ta có:
(begin{array}{l}frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Leftrightarrow frac{{22}}{{sin {{78}^o}}} = frac{{AC}}{{sin {{64}^o}}} = frac{{AB}}{{sin {{38}^o}}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}AC = sin {64^o}.frac{{22}}{{sin {{78}^o}}} approx 20,22\AB = sin {38^o}.frac{{22}}{{sin {{78}^o}}} approx 13,85end{array} right.end{array})
c) Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.
Ta có: (widehat A = {180^o} – widehat B – widehat C = {180^o} – {120^o} – {28^o} = {32^o})
Áp dụng định lí sin, ta có:
(begin{array}{l}frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}} = frac{{AB}}{{sin C}} Leftrightarrow frac{{BC}}{{sin {{32}^o}}} = frac{{22}}{{sin {{120}^o}}} = frac{{AB}}{{sin {{28}^o}}}\ Rightarrow left{ begin{array}{l}BC = sin {32^o}.frac{{22}}{{sin {{120}^o}}} approx 13,5\AB = sin {28^o}.frac{{22}}{{sin {{120}^o}}} approx 12end{array} right.end{array})
d) Ta cần tính số đo ba góc (widehat A,widehat B,widehat C)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}cos A = frac{{A{C^2} + A{B^2} – B{C^2}}}{{2.AB.AC}};cos B = frac{{B{C^2} + A{B^2} – A{C^2}}}{{2.BC.BA}}\ Rightarrow cos A = frac{{{{32}^2} + {{23}^2} – {{44}^2}}}{{2.32.23}} = frac{{ – 383}}{{1472}};cos B = frac{{{{44}^2} + {{23}^2} – {{32}^2}}}{{2.44.23}} = frac{{131}}{{184}}\ Rightarrow widehat A approx {105^o},widehat B = {44^o}36’\ Rightarrow widehat C = {30^o}24’end{array})
============
Giải bài 2 trang 77 SGK Toán 10 CTST
Để lắp đường dây diện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là ({70^o}). Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Bước 1: Tính cạnh AB: Áp dụng định lí cosin: (A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} – 2.BC.AC.cos C)
Bước 2: Tính chiều dài tăng thêm, bằng (AC + CB – AB)
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí cosin, ta có:
(begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} – 2.BC.AC.cos C\ Leftrightarrow A{B^2} = {8^2} + {10^2} – 2.8.10.cos {70^o}\ Rightarrow AB approx 10,45end{array})
Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp là:
(AC + CB – AB = 10 + 8 – 10,45 = 7,55;(km).)
===============
Giải bài 3 trang 77 SGK Toán 10 CTST
Một người đứng cách thân một các quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng (56,{5^o}) (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5m.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.
Cách 1:
Tính góc B rồi áp dụng định lí sin để tính BC: (frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}})
Cách 2:
(tan A = frac{{BC}}{{AC}} Rightarrow BC = AC.tan A)
Lời giải chi tiết
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.
Cách 1:
Ta có: (widehat B = {90^o} – 56,{5^o} = 33,{5^o})
Áp dụng định lí sin, ta có: (frac{{BC}}{{sin A}} = frac{{AC}}{{sin B}})
( Rightarrow BC = sin A.frac{{AC}}{{sin B}} = sin 56,{5^o}.frac{{16}}{{sin 33,{5^o}}} approx 24,2;(m))
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là (24,2 + 1,5 = 15,7(m))
Cách 2:
(tan A = frac{{BC}}{{AC}} Rightarrow BC = AC.tan A = 16.tan 56,{5^o} approx 24,2)
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là (24,2 + 1,5 = 15,7(m))
==============
Giải bài 4 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là ({32^ circ }) và ({40^ circ }) (Hình 9).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
Bước 1: Tính AB theo tan góc đối bằng 2 cách (đưa vào hai tam giác ABC và ADB)
Bước 2: Giải phương trình ẩn x, từ đó suy ra AB.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC vuông tại B nên ta có: (tan C = frac{{AB}}{{CB}} Leftrightarrow AB = tan {32^ circ }.(1 + x))
Tam giác ADB vuông tại B nên ta có: (tan D = frac{{AB}}{{DB}} Leftrightarrow AB = tan {40^ circ }.x)
(begin{array}{l} Rightarrow tan {32^ circ }.(1 + x) = tan {40^ circ }.x\ Leftrightarrow x.(tan {40^ circ } – tan {32^ circ }) = tan {32^ circ }\ Leftrightarrow x = frac{{tan {{32}^ circ }}}{{tan {{40}^ circ } – tan {{32}^ circ }}}\ Leftrightarrow x approx 2,9;(km)end{array})
( Rightarrow AB approx tan {40^ circ }.2,92 approx 2,45;(km))
Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.
==============
Giải bài 5 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng ({32^ circ }) so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là ({62^ circ }). Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là ({70^ circ }). Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
Kí hiệu điểm A là vị trí khinh khí cầu.
Bước 1: Tính góc P, Q, A trong tam giác APQ.
Bước 2: Áp dụng định lí sin, tính QA
Lời giải chi tiết
Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.
Ta có:
Tại P, góc nâng của khinh khí cầu là ({62^ circ })( Rightarrow widehat P = {62^ circ } – {32^ circ } = {30^ circ })
Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là ({70^ circ })( Rightarrow widehat {AQt} = {70^ circ } – {32^ circ } = {38^ circ })
( Rightarrow widehat {AQP} = {180^ circ } – {38^ circ } = {142^ circ }) và (widehat A = {180^ circ } – {142^ circ } – {30^ circ } = {8^ circ })
Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:
(begin{array}{l}frac{{PQ}}{{sin A}} = frac{{QA}}{{sin P}}\ Rightarrow QA = sin P.frac{{PQ}}{{sin A}} = sin {30^ circ }.frac{{60}}{{sin {8^ circ }}} approx 215,56;(m)end{array})
Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu là 215,56 m.
================
Giải bài 6 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt dất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là ({43^ circ }), góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là ({62^ circ }) và đến điểm mốc khác là ({54^ circ })(Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
Bước 1: Kí hiệu các điểm A, B, C, H như hình trên.
Bước 2: Tính AB, AC bằng cách gắn vào tam giác ABH và ACH.
Bước 3: Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC: (B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos A)
Lời giải chi tiết
Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.
Xét tam giác ABH ta có:
(AH = 352,;widehat {BAH} = {62^ circ })
Mà (cos widehat {BAH} = frac{{AH}}{{AB}} Rightarrow AB = 352 : cos {62^ circ } approx 749,78)
Tương tự, ta có: (cos widehat {CAH} = frac{{AH}}{{AC}} Rightarrow AC = 352:cos {54^ circ } approx 598,86)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
(begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos A\ Leftrightarrow B{C^2} = {749,78^2} + {598,86^2} – 2.749,78.598,86.cos {43^ circ }\ Rightarrow BC approx 513,84end{array})
Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc này là 513,84 m.