Biểu diễn ((3+sqrt{2})^{5}-(3-sqrt{2})^{5}) dưới dạng (a+bsqrt{2}) với a, b là các số nguyên.
Phương pháp giải
Áp dụng công thức:
(begin{array}{*{20}{l}}
{{{left( {a + b} right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\
{;;;;;;;;;;;;; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.}
end{array})
Lời giải chi tiết
(begin{array}{l}
{(3 + sqrt 2 )^5} = {3^5} + {5.3^4}.sqrt 2 + {10.3^3}.{(sqrt 2 )^2} + {10.3^2}.{(sqrt 2 )^3} + 5.3.{(sqrt 2 )^4} + {(sqrt 2 )^5}{(3 – sqrt 2 )^5}\
= {3^5} – {5.3^4}.sqrt 2 + {10.3^3}.{(sqrt 2 )^2} – {10.3^2}.{(sqrt 2 )^3} + 5.3.{(sqrt 2 )^4} – {(sqrt 2 )^5}\
Rightarrow {(3 + sqrt 2 )^5} – {(3 – sqrt 2 )^5} = 810sqrt 2 + 360sqrt 2 + 8sqrt 2 = 1178sqrt 2
end{array})