Giải bài tập Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ (Chân trời)
===========
Giải bài 1 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0;} )
b) (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
a) Thay vectơ (overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB} )
b) Bước 1: chèn điểm O: (overrightarrow {AB} = overrightarrow {AO} + overrightarrow {OB} )
Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm: (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} = overrightarrow 0 ) (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)
Lời giải chi tiết
a) ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {DC} = overrightarrow {AB} )
( Rightarrow overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {BB} = overrightarrow 0 )
b) (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MC} = left( {overrightarrow {MB} + overrightarrow {BA} } right) + left( {overrightarrow {MD} + overrightarrow {DC} } right))
(= left( {overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} } right) + left( {overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC}} right))
(= overrightarrow {MB} + overrightarrow {MD} ) (Vì (overrightarrow {BA} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {0} ))
Giải bài 2 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tứ giác ABCD, thực hiện cả phép cộng và trừ vectơ sau:
a) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA});
b) (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} )
c) (overrightarrow {CB} – overrightarrow {CD} ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
Cho hai vectơ (overrightarrow a) và (overrightarrow b). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho (overrightarrow {AB} = overrightarrow a ), (overrightarrow {BC} = overrightarrow b ). Khi đó (overrightarrow {AC} ) được gọi là tổng của hai vecto (overrightarrow a), (overrightarrow b) được kí hiệu là (overrightarrow a + overrightarrow b ).
Vậy (overrightarrow a + overrightarrow b = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
Hiệu của hai vecto (overrightarrow a – overrightarrow b = overrightarrow a + left( { – overrightarrow b } right))
Lời giải chi tiết
a) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} + overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} = left( {overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} } right) + left( {overrightarrow {CD} + overrightarrow {DA} } right) = overrightarrow {AC} + overrightarrow {CA} = overrightarrow {AA} = overrightarrow 0 )
b) (overrightarrow {AB} – overrightarrow {AD} = overrightarrow {AB} + overrightarrow {DA} = overrightarrow {DA} + overrightarrow {AB} = overrightarrow {DB} )
c) (overrightarrow {CB} – overrightarrow {CD} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {DC} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {DB} )
Giải bài 3 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ:
a) (overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} );
b) (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} );
c) (overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
a) Sử dụng quy tắc ba điểm (overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
b)
Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC, xác định giao điểm của 2 đường chéo là điểm O.
Bước 2: Xác định vectot tổng (overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = ?)
Bước 3: Tính độ dài của vecto tìm được
c)
Bước 1: Thay thế vecto đối (overrightarrow {AB} = – overrightarrow {BA} )
Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm tính vecto tổng
Bước 3: Tính độ dài
Lời giải chi tiết
a) ()(overrightarrow {BA} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {BC} Rightarrow left| {overrightarrow {BC} } right| = BC = a)
b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:
(overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} = overrightarrow {AD} )
(AD = 2AO = 2sqrt {A{B^2} – B{O^2}} = 2sqrt {{a^2} – {{left( {frac{a}{2}} right)}^2}} = asqrt 3 )
( Rightarrow left| {overrightarrow {AB} + overrightarrow {AC} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = asqrt 3 )
c) (overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} = overrightarrow {BA} + overrightarrow {CB} = overrightarrow {CB} + overrightarrow {BA} = overrightarrow {CA} )
( Rightarrow left| {overrightarrow {BA} – overrightarrow {BC} } right| = left| {overrightarrow {CA} } right| = CA = a)
Giải bài 4 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:
a) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC;} )
b) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} + overrightarrow {DC} = overrightarrow 0 )
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
Vận dụng quy tắc hiệu: ( overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA} )
Lời giải chi tiết
a) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA} )
(overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC} = overrightarrow {CD} )
Do ABCD là hình bình hành nên (overrightarrow {BA} = overrightarrow {CD} )
Suy ra, (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC} )
b) (overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} + overrightarrow {DC} = (overrightarrow {OD} – overrightarrow {OC}) + overrightarrow {DC} \= overrightarrow {CD} + overrightarrow {DC} = overrightarrow {CC} = overrightarrow 0 )
Giải bài 5 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho ba lực (overrightarrow {{F_1}} = overrightarrow {MA} ,overrightarrow {{F_2}} = overrightarrow {MB} ) và (overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MC} ) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ) đều là 10 N và (widehat {AMB} = 90^circ ) Tìm độ lớn của lực (overrightarrow {{F_3}} ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
Cho hai vectơ (overrightarrow a) và (overrightarrow b). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho (overrightarrow {AB} = overrightarrow a ), (overrightarrow {BC} = overrightarrow b ). Khi đó (overrightarrow {AC} ) được gọi là tổng của hai vecto (overrightarrow a), (overrightarrow b) được kí hiệu là (overrightarrow a + overrightarrow b ).
Vậy (overrightarrow a + overrightarrow b = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
Hiệu của hai vecto (overrightarrow a – overrightarrow b = overrightarrow a + left( { – overrightarrow b } right))
Lời giải chi tiết
Ba lực (overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ,overrightarrow {{F_3}} ) cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: ()(overrightarrow {{F_1}} + overrightarrow {{F_2}} + overrightarrow {{F_3}} = overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} + overrightarrow {MC} = overrightarrow 0 )
Dựng hình bình hành (MADB), khi đó: (overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB}= overrightarrow {MD})
( Rightarrow overrightarrow {MD} + overrightarrow {MC} = overrightarrow {0})
( Rightarrow overrightarrow {MD}, overrightarrow {MC}) là hai vecto đối nhau
( Rightarrow MD =MC)
Xét hình bình hành MADB, ta có:
AM=AB và (widehat {AMB} = 90^circ )
( Rightarrow) MADB là hình vuông, cạnh (AB=10)
( Rightarrow MC = MD = AB. sqrt{2} = 10sqrt{2})
Vậy độ lớn của lực (overrightarrow {{F_3}} ) là (left| {overrightarrow {{F_3}} } right| = left| {overrightarrow {MC} } right| = MC = 10sqrt 2 ) (N)
Giải bài 6 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Khi máy bay nghiêng cánh một góc (alpha ), lực (overrightarrow F ) của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng (overrightarrow {{F_1}} ) và lực cản (overrightarrow {{F_2}} ) (Hình 16). Cho biết (alpha = 30^circ )và (left| {overrightarrow F } right| = a). Tính (left| {overrightarrow {{F_1}} } right|) và (left| {overrightarrow {{F_2}} } right|) theo a.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
Kí hiệu các điểm như hình dưới.
Lời giải chi tiết
Khi đó các lực (overrightarrow F ,overrightarrow {{F_1}} ,overrightarrow {{F_2}} ) lần lượt là (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AD} ,overrightarrow {AB} )
(alpha = widehat {{rm{BAx}}} = 30^circ ) ( Rightarrow widehat {CAB} = 60^circ )
(AB = AC.c{rm{os}}widehat {CAB} = a.c{rm{os60}}^circ {rm{ = }}frac{a}{2} Rightarrow left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = left| {overrightarrow {AB} } right| = frac{a}{2})
(AD = BC = AC.sin widehat {CAB} = a.sin 60^circ = frac{{asqrt 3 }}{2} Rightarrow left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = left| {overrightarrow {AD} } right| = AD = frac{{asqrt 3 }}{2})
Vậy (left| {overrightarrow {{F_1}} } right| = frac{{asqrt 3 }}{2};left| {overrightarrow {{F_2}} } right| = frac{a}{2})
Giải bài 7 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn (overrightarrow {KA} + overrightarrow {KC} = overrightarrow 0 ;overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ;overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HC} = overrightarrow 0 ). Tính độ dài các vectơ (overrightarrow {KA} ,overrightarrow {GH} ,overrightarrow {AG} ).
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 7
Phương pháp giải
Cho hai vectơ (overrightarrow a) và (overrightarrow b). Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho (overrightarrow {AB} = overrightarrow a ), (overrightarrow {BC} = overrightarrow b ). Khi đó (overrightarrow {AC} ) được gọi là tổng của hai vecto (overrightarrow a), (overrightarrow b) được kí hiệu là (overrightarrow a + overrightarrow b ).
Vậy (overrightarrow a + overrightarrow b = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
Lời giải chi tiết
Ta có (AC = ABsqrt 2 = asqrt 2 )
+) (overrightarrow {KA} + overrightarrow {KC} = overrightarrow 0 ),
Suy ra K là trung điểm AC ( Rightarrow AK = frac{1}{2}.asqrt 2 = frac{{asqrt 2 }}{2})
+) (overrightarrow {HA} + overrightarrow {HD} + overrightarrow {HC} = overrightarrow 0 ), suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC
(Rightarrow DH = frac{2}{3}DK = frac{1}{3}DB) (1)
+) (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 ), suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
(Rightarrow BG = frac{2}{3}BK = frac{1}{3}BD) (2)
((1,2) Rightarrow HG = frac{1}{3}BD=frac{{asqrt 2 }}{3})
Mà (KG = KH = frac{1}{2}HG= frac{{asqrt 2 }}{6}) (2)
(Rightarrow AG = sqrt {A{K^2} + G{K^2}} = sqrt {{{left( {frac{{asqrt 2 }}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{asqrt 2 }}{6}} right)}^2}} = frac{{asqrt 5 }}{3})
( Rightarrow left| {overrightarrow {AG} } right| = frac{{asqrt 5 }}{3})
Vậy (left|overrightarrow {KA}right| =frac{{asqrt 2 }}{2} ,left|overrightarrow {GH}right|=frac{{asqrt 2 }}{3} ,left|overrightarrow {AG}right|=frac{{asqrt 5 }}{3} ).
Giải bài 8 trang 93 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1
Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 8
Phương pháp giải
Gọi vecto vận tốc của tàu là (overrightarrow {AB} ), vecto vận tốc của dòng nước là vecto (overrightarrow {BC} )
Lời giải chi tiết
Ta có vecto tổng là (overrightarrow F = overrightarrow {AB} + overrightarrow {BC} = overrightarrow {AC} )
Độ dài vecto tổng là (left| {overrightarrow F } right| = left| {overrightarrow {AC} } right| = AC = sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = sqrt {{{30}^2} + {{10}^2}} = 10sqrt {10} )(km/h)
Vậy độ dài vecto tổng là (10sqrt {10} )(km/h).