Cho hình chóp (S.ABC) có (SA bot (ABC)), tam giác (ABC) vuông tại (B), góc tạo bởi hai mặt phẳng ((SAC)) và ((SBC)) bằng (widehat {BAC}). Tính (P = tan widehat {BAC} cdot cos widehat {ASB}).
Lời giải
Gọi (H,K) lần lượt là hình chiếu của (A) xuống (SB,SC).
Từ đây dẫn đến (SC bot left( {AHK} right)) hay (HK bot SC), vì thế (widehat {AKH} = angle left( {left( {SAC} right);left( {SBC} right)} right) = widehat {BAC}).
Đặt (widehat {BAC} = alpha ,widehat {BSA} = beta ) với (alpha ,beta in left( {0;frac{pi }{2}} right)), (AB = x) với (x > 0).
Khi đó ta có (SA = frac{x}{{tan beta }},AH = xcos beta ,,,AC = frac{x}{{cos alpha }}).
Do (Delta AHK) vuông tại (H) nên
({sin ^2}alpha = frac{{A{H^2}}}{{A{K^2}}} = {x^2}{cos ^2}beta .left( {frac{1}{{S{A^2}}} + frac{1}{{A{C^2}}}} right) = {x^2}{cos ^2}beta .left( {frac{{{{tan }^2}beta }}{{{x^2}}} + frac{{{{cos }^2}alpha }}{{{x^2}}}} right))
suy ra ({sin ^2}alpha = {sin ^2}beta + {cos ^2}beta .{cos ^2}alpha ), kéo theo ({tan ^2}alpha .{cos ^2}beta = 1).
Do (alpha ,beta ) đều là góc nhọn nên (tan alpha .cos beta = 1).