adsense
Xét các số phức \(z\), \(w\) thỏa mãn \(\left| {z – 2w} \right| = 4\) và \(\left| {3z + w} \right| = 5\).
Khi \(\left| {5z – 3w + i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị \(\left| {z – w + 1} \right|\).
A. \(\frac{{17\sqrt 2 }}{7}\).
B. \(4\).
C. \(2\).
D. \(\frac{{\sqrt {170} }}{7}\).
Lời giải:
Ta có: \(\left| {z – 2w} \right| = 4\)\( \Rightarrow \left| {2z – 4w} \right| = 2\left| {z – 2w} \right| = 8\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2z – 4w\\v = 3z + w\end{array} \right.\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\left| u \right| = 8\\\left| v \right| = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left| {u + v} \right| \ge \left| {\left| u \right| – \left| v \right|} \right| = \left| {8 – 5} \right| = 3\) \(\left( 1 \right)\).
adsense
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow u = {k_1}v\) với \({k_1} \le 0\).
Lại có: \(\left| {\left( {u + v} \right) + i} \right| \ge \left| {\left| {u + v} \right| – \left| i \right|} \right|\) \(\left( 2 \right)\).
Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow u + v = {k_2}i\) với \({k_2} \le 0\).
Do đó: \(\left| {u + v + i} \right| \ge \left| {3 – 1} \right| = 2\) hay \(\left| {5z – 3w + i} \right| \ge 2\) \(\left( 3 \right)\).
Dấu xảy ra đồng thời ở \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = {k_1}v\\u + v = {k_2}i\end{array} \right.\) .
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| u \right| = \left| {{k_1}} \right|\left| v \right|\\\left| {u + v} \right| = \left| {{k_2}} \right|\left| i \right|\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 = 5\left| {{k_1}} \right|\\3 = \left| {{k_2}} \right|\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{k_1}} \right| = \frac{8}{5}\\\left| {{k_2}} \right| = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_1} = – \frac{8}{5}\\{k_2} = – 3\end{array} \right.\) .
Như vậy, dấu xảy ra ở \(\left( 3 \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = – \frac{8}{5}v\\u + v = – 3i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = – 8i\\v = 5i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2z – 4w = – 8i\\3z + w = 5i\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{{6i}}{7}\\w = \frac{{17i}}{7}\end{array} \right.\).
Khi đó: \(z – w + 1 = 1 – \frac{{11i}}{7}\)\( \Rightarrow \left| {z – w + 1} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { – \frac{{11}}{7}} \right)}^2}} = \sqrt {1 + \frac{{121}}{{49}}} = \sqrt {\frac{{170}}{{49}}} = \frac{{\sqrt {170} }}{7}\).
Vậy khi \(\left| {5z – 3w + i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị \(\left| {z – w + 1} \right| = \frac{{\sqrt {170} }}{7}\).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.