Chọn A
Theo giả thiết ta có: \(f\left( x \right)-g\left( x \right)\)\( ={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\)\( ={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}-mx+n\,\,\left( * \right)\)
Ta có: \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\frac{f\left( x \right)-g\left( x \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}dx}\)\(=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)dx}\)\(=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}+{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)dx}\)
\(\begin{align}
& =\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left[ {{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]dx}\\
&=\left. \left( \frac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}+\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\frac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}{2} \right) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \\
& =\frac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{3}-\frac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{2}\\
&=-\frac{{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}}{6}=\frac{-4}{3} \\
\end{align}\)
Suy ra \({{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow {{x}_{2}}-{{x}_{1}}=2\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mặt khác theo định lí Viét bậc 4 của phương trình (*) ta được:
\(1+1+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}+{{x}_{1}}=-2\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{2}}=0 \\
& {{x}_{1}}=-2 \\
\end{align} \right.\)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\)là:
\(S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right)x \right|}dx\)\( =\frac{29}{5}\)