(SGK) Giải SGK Toán 11 Bài 16 (Kết nối tri thức): Giới hạn của hàm số


Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

Mở đầu trang 111 Toán 11 Tập 1: Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

m=m01v2c2,

trong đó m0 là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Từ công thức khối lượng m=m01v2c2

ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0; c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v ⟶ c, ta có 1v2c20. Do đó limvcmv=+, nghĩa là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần tới vận tốc ánh sáng.

1. Giới hạn hữu hạn của một hàm số tại một điểm

HĐ1 trang 111 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số fx=4x2x2.

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).

b) Cho dãy số xn=2n+1n. Rút gọn f(xn) và tính giới hạn của dãy (un) với un = f(xn).

c) Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn ≠ 2 và xn ⟶ 2, tính f(xn) và tìm limn+fxn.

Lời giải:

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ \ {2}.

b) Ta có:

fxn=42n+1n22n+1n2=42+1n22+1n2=44+4n+1n21n1n4+1n1n=41n .

limn+un=limn+fxn=limn+41n=4.

c) Ta có: fxn=4xn2xn2=2xn2+xn2xn=2xn.

Vì xn ≠ 2 và xn ⟶ 2 với mọi n nên limn+xn=2.

Do đó, limn+fxn=limn+2xn=22=4.

Luyện tập 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Tính limx1x1x1.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 1 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Lại có: x1x1=x+1x1x1=x+1.

Do đó limx1x1x1=limx1x+1=limx1x+limx11=1+1=2.

HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11.

a) Cho xn=nn+1  xn=n+1n. Tính yn = f(xn) và y’n = f(x’n).

b) Tìm giới hạn của các dãy số (yn) và (y’n).

c) Cho các dãy số (xn) và (x’n) bất kì sao cho xn < 1 < x’n và xn ⟶ 1, x’n ⟶ 1, tính limn+fxn  limn+fxn.

Lời giải:

a) Ta có: xn=nn+1<1 với mọi n xn1<0 với mọi n.

Do đó, HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Ta cũng có: xn=n+1n>1 với mọi n ⇒ x’n – 1 > 0 với mọi n.

Do đó, HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

b) Ta có limn+yn=limn+1=1; limn+yn=limn+1=1.

c) Ta có: HĐ2 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì xn < 1 < x’n, suy ra xn – 1 < 0 và x’n – 1 > 0 với mọi n.

Do đó, f(xn) = – 1 và f(x’n) = 1.

Vậy limn+fxn= – 1 và limn+fxn= 1.

Luyện tập 2 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số Luyện tập 2 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Tính limx0+fx, limx0fx  limx0fx.

Lời giải:

Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn < 0 và xn ⟶ 0, ta có f(xn) = – xn.

Do đó limx0fx=limn+fxn=limn+xn=0.

Tương tự, với dãy số (xn) bất kì sao cho xn > 0 và xn ⟶ 0, ta có f(xn) = xn.

Do đó limx0+fx=limn+fxn=limn+xn=0.

Khi đó, limx0+fx = limx0fx = 0. Vậy limx0fx = 0.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

HĐ3 trang 114 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số fx=1+2x1 có đồ thị như Hình 5.4.

HĐ3 trang 114 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Giả sử (xn) là dãy số sao cho xn > 1, xn ⟶ +∞. Tính f(xn) và tìm .

Lời giải:

Với (xn) là dãy số sao cho xn > 1, xn ⟶ +∞.

Ta có: fxn=1+2xn1.

Khi xn ⟶ +∞ thì limn+2xn1=0.

Do đó limn+fxn=limn+1+2xn1=1.

Luyện tập 3 trang 115 Toán 11 Tập 1: Tính limx+x2+2x+1.

Lời giải:

Ta có limx+x2+2x+1=limx+x21+2x2x+1=limx+x1+2x2x1+1x=limx+1+2x21+1x

=limx+1+2x2limx+1+1x=limx+1+limx+2x2limx+1+limx+1x=11=1.

Vận dụng trang 115 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

Vận dụng trang 115 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có: A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên ta có

1OH2=1OA2+1OB2

Do đó, 1h2=1a2+112h=a2a2+1 .

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.

Ta có: lima+h=lima+a2a2+1=lima+a2a21+1a2=lima+11+1a2=1.

Do đó, điểm H dịch chuyển về điểm B.

3. Giới hạn vô cực của một hàm số tại một điểm

HĐ4 trang 115 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số fx=1x2 có đồ thị như Hình 5.6.

HĐ4 trang 115 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Cho xn=1n, chứng tỏ rằng f(xn) ⟶ +∞.

Lời giải:

Ta có: xn=1n, do đó fxn=1xn2=11n2=n2.

Vì n ⟶ +∞ nên xn=1n0 và f(xn) ⟶ +∞.

HĐ5 trang 116 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=1x1. Với các dãy số (xn) và (x’n) cho bởi xn=1+1n, xn=11n, tính limn+fxn  limn+fxn.

Lời giải:

Ta có: limn+fxn=limn+1xn1=limn+11+1n1=limn+11n=limn+n=+;

limn+fxn=limn+1xn1=limn+111n1=limn+11n=limn+n=.

Luyện tập 4 trang 116 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) Luyện tập 4 trang 116 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11;

b) limx212x.

Lời giải:

a) Xét hàm số Luyện tập 4 trang 116 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11. Lấy dãy số (xn) bất kì sao cho xn ≠ 0, xn ⟶ 0.

Do đó, Luyện tập 4 trang 116 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

b) Đặt gx=12x. Với mọi dãy số (xn) trong khoảng (– ∞; 2) mà limn+xn=2, ta có

limn+fxn=limn+12xn=+.

Do đó limx2fx=limx212x=+.

Luyện tập 5 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính limx2+2x1x2  limx22x1x2.

Lời giải:

+) Ta có: limx2+x2=0, x – 2 > 0 với mọi x > 2 và

limx2+2x1=2.21=3>0.

Do đó, limx2+2x1x2=+.

+) Ta có: limx2x2=0, x – 2 < 0 với mọi x < 2 và

limx22x1=2.21=3>0.

Do đó, limx22x1x2=.

Bài tập

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số fx=x21x1 và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) limx1fx=limx1gx.

Lời giải:

+) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Ta có: fx=x21x1=x1x+1x1=x+1, với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.

+) Ta có: limx1fx=limx1x21x1=limx1x+1=1+1=2;

limx1gx=limx1x+1=1+1=2.

Vậy limx1fx=limx1gx nên khẳng định b) là đúng.

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) limx0x+224x;

b) limx0x2+93x2.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.

a) Ta có: Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó limx0x+224x=limx0x+4=0+4=4.

b) Ta có: x2+93x2=x2+9232x2x2+9+3=x2x2x2+9+3=1x2+9+3.

Do đó limx0x2+93x2=limx01x2+9+3=16.

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11 (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính limt0+Ht  limt0Ht.

Lời giải:

Với dãy số (tn) bất kì sao cho tn < 0 và tn ⟶ 0, ta có H(tn) = 0.

Do đó limt0Ht=limn+Htn=limn+0=0.

Tương tự, với dãy số (tn) bất kì sao cho tn > 0 và tn ⟶ 0, ta có H(tn) = 1.

Do đó limt0+Ht=limn+Htn=limn+1=1.

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

a) limx1+x2x1;

b) limx4x2x+14x.

Lời giải:

a) Ta có: limx1+x1=0, x – 1 > 0 với mọi x > 1 và

limx1+x2=12=1<0.

Do đó, limx1+x2x1=.

b) Ta có: limx44x=0, 4 – x > 0 với mọi x < 4 và

limx4x2x+1=424+1=13>0.

Do đó, limx4x2x+14x=+.

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11.

Tìm limx2+gx  limx2gx.

Lời giải:

Ta có: Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Do đó, limx2+gx=limx2+x3=23=1;

limx2gx=limx23x=32=1.

Bài 5.12 trang 118 Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) limx+12xx2+1;

b) limx+x2+x+2x.

Lời giải:

a) limx+12xx2+1=limx+12xx21+1x2=limx+x1x2x1+1x2=limx+1x21+1x2=21=2.

b) Ta có: x2+x+2x=x2+x+22x2x2+x+2+x=x+2x2+x+2+x

Do đó, limx+x2+x+2x=limx+x+2x2+x+2+x

=limx+x+2x21+1x+2x2+x=limx+x+2x1+1x+2x2+x

=limx+x1+2xx1+1x+2x2+1=limx+1+2x1+1x+2x2+1=12

Bài 5.13 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=2x1x2.

Tính limx2+fx  limx2fx.

Lời giải:

Ta có: fx=2x1x2=2x11x2

+) limx2+2x1=221=2>0  limx2+1x2=+ (do x – 2 > 0 khi x > 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được limx2+fx=limx2+2x1x2=+.

+) limx22x1=221=2>0  limx21x2= (do x – 2 < 0 khi x < 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được limx2fx=limx22x1x2=.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối Chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

==== ~~~~~~ ====



Link Hoc va de thi 2021

Chuyển đến thanh công cụ