Chứng minh rằng ab+1 là số chính phương, cho biết a=11…1⏟n,b=100…0⏟n−15

Câu hỏi:

Cho một dãy số có số hạng đầu là 16, các số hạng sau là số tạo thành bằng cách viết chèn số 15 vào chính giữa số hạng liền trước:16, 1156, 111556, …      Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.

Trả lời:

Ta cần chứng minh mọi số có dạng $A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11\dots 1}}}\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{55\dots 5}}}6$ đều là số chính phương. Thật vậy, đặt $\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11\dots 1}}}=a$ thì ${10}^n=9a+1$ nên:$A=\underset{n}{\underbrace{\mathrm{11\dots 1}}}{.10}^n+\underset{n-1}{\underbrace{\mathrm{55\dots 5}}}6\begin{array}{l}=a\left(9a+1\right)+5a+1\\ ={\left(3a+1\right)}^2\end{array}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====