Cho hàm số y=f(x)=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ bên dướiSố điểm cực trị của hàm số g(x)=f(x3+f(x)) là

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m\in \left(–10 ; 10\right)$ để hàm số $y=f\left(3x–1\right)+x^3–3mx$ đồng biến trên khoảng (-2;1)?

A. -49

B. -39

Đáp án chính xác

C. -35

D. 35

Trả lời:

Chọn B.Cách 1: Ta có: $y‘=3f‘\left(3x–1\right)+3x^2–3m=3\left(f‘\left(3x–1\right)+x^2–m\right)$Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:$y‘\ge 0,\forall x\in \left(–2;1\right)\iff \left(f‘\left(3x–1\right)+x^2–m\right)\ge 0,\forall x\in \left(–2;1\right)f‘\left(3x–1\right)+x^2\ge m,\forall x\in \left(–2;1\right)\iff m\le min\left(–2;1\right)\left(f‘\left(3x–1\right)+x^2\right)$Đặt $f‘\left(3x–1\right)=g\left(x\right)$ và $x^2=h\left(x\right)$Quan sát bảng biến thiên ta có:$\left\{\begin{array}{l}f‘\left(3x–1\right)\ge –4=f‘\left(0\right),3x–1\in \left(–7;2\right)\\ h\left(x\right)=x^2\ge 0=h\left(0\right),\forall x\in \left(–2;1\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}f‘\left(3x–1\right)\ge –4=f‘\left(0\right),\forall x\in \left(–2;1\right)\\ h\left(x\right)=x^2\ge 0=h\left(0\right),\forall x\in \left(–2;1\right)\end{array}\right.\Rightarrow f‘\left(3x–1\right)+h\left(x\right)\ge –4+0=–4,x=0\Rightarrow min\left(–2;1\right)\left[g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]=–4,x=0$Do đó: $\min \left(–2;1\right)\left(f‘\left(3x–1\right)+x^2\right)=–4$Vì $m\in \left(–10;10\right)$ và $m\le –4$ nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39Cách 2:Xét hàm số $y=f\left(3x–1\right)+x^3–3mx$Ta có: $y‘=3f‘\left(3x–1\right)+3x^2–3m=3\left[f‘\left(3x–1\right)+x^2–m\right]$Để hàm số đồng biến trên (-2;1) thì:$y‘\ge 0,\forall x\in \left(–2;1\right)\iff f‘\left(3x–1\right)\ge –x^2+m,\forall x\in \left(–2;1\right)$Đặt $g\left(x\right)=f‘\left(3x–1\right)\ge –x^2+m=h\left(x\right),\forall x\in \left(–2;1\right)$Đặt $\left\{\begin{array}{l}3x–1=t\\ x=\frac{t+1}{3}\\ t\in \left(–7;2\right)\end{array}\right.\Rightarrow f‘\left(t\right)\ge h\left(t\right)=–\frac{t^2+2t+1}{9}+m,\forall t\in \left(–7;2\right)\left(*\right)$Ta có đồ thị hàm số $h\left(t\right)=–\frac{t^2+2t+1}{9}+m$ có đỉnh I(-1;m)Vậy (*) thỏa mãn khi đồ thị $h\left(t\right)=–\frac{t^2+2t+1}{9}+m$ nằm dưới đồ thị y=f'(t)Suy ra: $m\le –4.$Với giả thiết $m\in \left(–10;10\right),m\in Z\Rightarrow m\in \left[–9;–4\right]\Rightarrow \sum _{m=–9}^{–4}m=–39.$

====== TRẮC NGHIỆM VẬT LÝ 12 =====