DẠNG TOÁN 48: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN (TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, TỈ SỐ DIỆN TÍCH)
Theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Biết rằng parabol (left( P right):{y^2} = 2x) chia đường tròn (left( C right):{x^2} + {y^2} = 8) thành hai phần lần lượt có
diện tích là ({S_1}), ({S_2}) (như hình vẽ). Khi đó ({S_2} – {S_1} = api – frac{b}{c}) với (a,b,c) nguyên dương và (frac{b}{c}) là
phân số tối giản. Tính (S = a + b + c).
A. (S = 13).
B. (S = 16).
C. (S = 15).
D. (S = 14).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Xét hệ (left{ begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\{y^2} = 2xend{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} + 2x – 8 = 0\{y^2} = 2xend{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = – 4 vee x = 2\{y^2} = 2xend{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 2\{y^2} = 4end{array} right.).
({S_1} = 2intlimits_0^2 {sqrt {2x} {rm{d}}x} + 2intlimits_2^{2sqrt 2 } {sqrt {8 – {x^2}} } {rm{d}}x)
({I_1} = 2intlimits_0^2 {sqrt {2x} {rm{d}}x} = left. {left( {2.sqrt 2 .frac{2}{3}sqrt {{x^3}} } right)} right|_0^2 = frac{{16}}{3}).
({I_2} = 2intlimits_2^{2sqrt 2 } {sqrt {8 – {x^2}} } {rm{d}}x)
Đặt (x = 2sqrt 2 cos t)( Rightarrow {rm{d}}x = – 2sqrt 2 sin t{rm{d}}t)
(x = 2 Rightarrow t = frac{pi }{4}), (x = 2sqrt 2 Rightarrow t = 0).
({I_2} = 2intlimits_{frac{pi }{4}}^0 {sqrt {8 – 8{{cos }^2}t} left( { – 2sqrt 2 sin t{rm{d}}t} right)} )( = 16intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{sin }^2}t{rm{d}}t} ) ( = 8intlimits_0^{frac{pi }{4}} {left( {1 – cos 2t} right){rm{d}}t} )( = 8left. {left( {t – frac{1}{2}sin 2t} right)} right|_0^{frac{pi }{4}})( = 2pi – 4).
( Rightarrow {S_1} = {I_1} + {I_2} = 2pi + frac{4}{3}).
( Rightarrow {S_2} = pi {left( {2sqrt 2 } right)^2} – {S_1} = 6pi – frac{4}{3}).
( Rightarrow {S_2} – {S_1} = 4pi – frac{8}{3}).
Vậy (a = 4), ( = 8), (c = 3) ( Rightarrow S = a + b + c = 15).