Học Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản – Toán 11 CD – Sách Toán

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 1

Cho hai phương trình (với cùng ẩn x): \({x^2} – 3x + 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)và \(\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

a)     Tìm tập nghiệm \({S_1}\) của phương trình (1) và tập nghiệm \({S_2}\) của phương trình (2)

b)     Hai tập \({S_1},{S_2}\) có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học ở cấp 2 để xử lí bài toán

Lời giải chi tiết:

a)     Phương trình: \({x^2} – 3x + 2 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta  = 9 – 4.2 = 1 > 0\)

Phương trình (1) có hai nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \frac{{3 + 1}}{{2.1}} = 2\\{x_1} = \frac{{3 – 1}}{{2.1}} = 1\end{array} \right.\) => \({S_1} = \left\{ {1;2} \right\}\)

Phương trình: \(\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\) => \({S_2} = \left\{ {1;2} \right\}\)

b)     Hai tập \({S_1};{S_2}\) có bằng nhau

Luyện tập – Vận dụng 1

Hai phương trình \(x – 1 = 0\)và \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}}\) có tương đương không vì sao?

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học ở cấp 2 để xử lí bài toán

Lời giải chi tiết:

Hai phương trình \(x – 1 = 0\)và \(\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}} = 0\) có tương đương vì:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} – 1}}{{x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {x – 1} \right).\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = 0\\ \Leftrightarrow x – 1 = 0\end{array}\)

Hoạt động 2

Khẳng định \(3x – 6 = 0 \Leftrightarrow 3x = 6\) đúng hay sai?

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa phương trình tương đương để trả lời câu hỏi

Lời giải chi tiết:

Khẳng định \(3x – 6 = 0 \Leftrightarrow 3x = 6\) đúng

Luyện tập- Vận dụng

Giải phương trình: \({\left( {x – 1} \right)^2} = 5x – 11\)

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học ở cấp 2 để xử lí bài toán

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} = 5x – 11\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 5x – 11\\ \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 – 5x + 11 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – 7x – 10 = 0\\ \Leftrightarrow (x – 5)(x – 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3

a)     Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x,x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]\) tại hai giao điểm \({A_0},{B_0}\) (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm \({A_0},{B_0}\).

b)     Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sin x,x \in \left[ {\pi ;3\pi } \right]\) tại hai giao điểm \({A_1},{B_1}\) (Hình 34). Tìm hoành độ của hai giao điểm \({A_1},{B_1}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học về lượng giác để xác định tọa độ giao điểm

Lời giải chi tiết:

a)     Hoành độ của \({A_0}\) là \(\frac{\pi }{6}\)

Hoành độ của \({B_0}\) là \(\frac{{5\pi }}{6}\)

b)     Hoành độ của \({A_1}\) là \(\frac{{13\pi }}{6}\)

Hoành độ của \({B_1}\) là \(\frac{{17\pi }}{6}\)

Luyện tập- Vận dụng

a) Giải phương trình: \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

b) Tìm góc lượng giác x sao cho \(\sin x = \sin {55^ \circ }\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình sin.

Lời giải chi tiết:

a) \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi  – \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)

b) \(\begin{array}{l}\sin x = \sin {55^ \circ } \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {55^ \circ } + k{.360^ \circ }\\x = {180^ \circ } – {55^ \circ } + k{.360^ \circ }\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {55^ \circ } + k{.360^ \circ }\\x = {125^ \circ } + k{.360^ \circ }\end{array} \right.\\\end{array}\)

adsense

Luyện tập – Vận dụng

Giải phương trình \(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình sin.

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi  – \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 4

a)     Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \cos x,x \in \left[ { – \pi ;\pi } \right]\) tại hai giao điểm \({C_0},{D_0}\) (Hình 35). Tìm hoành độ giao điểm của hai giao điểm \({C_0},{D_0}\).

b)     Đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = \cos x,x \in \left[ {\pi ;3\pi } \right]\) tại hai giao điểm \({C_1},{D_1}\) (Hình 35). Tìm hoành độ giao điểm của hai giao điểm \({C_1},{D_1}\).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học về lượng giác để xác định tọa độ giao điểm

Lời giải chi tiết:

a)     Hoành độ của \({C_0}\) là \( – \frac{\pi }{3}\)

Hoành độ của \({D_0}\) là \(\frac{\pi }{3}\)

b)     Hoành độ của \({C_1}\) là \(\frac{{5\pi }}{3}\)

Hoành độ của \({D_1}\) là \(\frac{{7\pi }}{3}\)

Luyện tập – Vận dụng

a) Giải phương trình \(\cos x =  – \frac{1}{2}\)

b) Tìm góc lượng giác x sao cho \(\cos x = \cos \left( { – {{87}^ \circ }} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình cos

Lời giải chi tiết:

a) \(\cos x =  – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x =  – \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)

b) \(\cos x = \cos \left( { – {{87}^ \circ }} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  – {87^ \circ } + k.360\\x = {87^ \circ } + k{.360^ \circ }\end{array} \right.\)

Luyện tập – Vận dụng

Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát của phương trình cos

Lời giải chi tiết:

+) Vệ tinh cách mặt đất 1 000 km thì h=1 000

Khi đó

\(\begin{array}{l}1000 = 550 + 450.\cos \frac{\pi }{{50}}t\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = \cos 0\\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = 0 + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 100.k\,\,\,\,;k \in N*\end{array}\)

+) Vệ tinh cách mặt đất 250 km thì h=250

Khi đó

\(\begin{array}{l}250 = 550 + 450.\cos \frac{\pi }{{50}}t\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t =  – \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{50}}t = \arccos \left( { – \frac{2}{3}} \right) + k2\pi \\\frac{\pi }{{50}}t =  – \arccos \left( { – \frac{2}{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{50}}{\pi }\left[ {\arccos \left( { – \frac{2}{3}} \right) + k2\pi } \right]\\t = \frac{{50}}{\pi }\left[ { – \arccos \left( { – \frac{2}{3}} \right) + k2\pi } \right]\end{array} \right.;k \in N*\end{array}\)

+) Vệ tinh cách mặt đất 100 km thì h=100

Khi đó

\(\begin{array}{l}100 = 550 + 450.\cos \frac{\pi }{{50}}t\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t =  – 1\\ \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = \cos \pi \\ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = \pi  + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 50 + 100k\,\,\,\,;k \in N*\end{array}\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 5

Quan sát giao điểm củ

a)     Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = tanx và đường thẳng y = m trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó

b)     Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình tanx = m

Phương pháp giải:

Dựa vào phương trình lượng giác của sinx và cosx để làm bài

Lời giải chi tiết:

a)     Do hoành độ giao điểm nằm trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên:  \(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \)

b)     Nhận xét: trên khoảng \(\left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta luôn có \(x = \alpha  + k\pi \)

Luyện tập – Vận dụng

) Giải phương trình \(\tan x = 1\)

b) Tìm góc lượng giác x saoo cho \(\tan x = \tan {67^ \circ }\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát để giải phương trình tan

Lời giải chi tiết:

a) \(\tan x = 1 \Leftrightarrow \tan x = \tan \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

b) \(\tan x = \tan {67^ \circ } \Leftrightarrow x = {67^ \circ } + k{.180^ \circ }\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động

Quan sát các giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = m (Hình 37)

a)     Từ hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cotx và đường thẳng y = m trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), hãy xác định tất cả các hoành độ giao điểm của hai đồ thị đó.

b)     Có nhận xét gì về nghiệm của phương trình cotx = m?

Phương pháp giải:

Dựa vào phương trình lượng giác của sinx và cosx để làm bài:

Lời giải chi tiết:

a)     Do hoành độ giao điểm nằm trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) nên:  \(\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \)

b)     Nhận xét: trên khoảng\(\left( {0;\pi } \right)\), với mọi \(m \in \mathbb{R}\) ta luôn có \(x = \alpha  + k\pi \)

Luyện tập – Vận dụng

a) Giải phương trình \(\cot x = 1\)

b) Tìm góc lượng giác x saoo cho \(\cot x = \cot \left( { – {{83}^ \circ }} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát để giải phương trình cot

Lời giải chi tiết:

a) \(\cot x = 1 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \)

b) \(\cot x = \cot \left( { – {{83}^ \circ }} \right) \Leftrightarrow x =  – {83^ \circ } + k{.180^ \circ }\)

Đề bài

Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian ( làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)

a) \(\sin x = 0,2\)

b) \(\cos x =  – \frac{1}{5}\)

c) \(\tan x = \sqrt 2 \)

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải chi tiết

a) Bấm liên tiếp nút SHIFT, nút SIN, nút 0, nút . , nút 2, nút =

Ta được kết quả gần đúng là 11,537.

Vậy phương trình \(\sin x = 0,2\) có các nghiệm là :

\(x \approx 11,537 + k2\pi ,k \in Z\) và \(x \approx \pi  – 11,537 + k2\pi ,k \in Z\)

b) Bấm liên tiếp nút SHIFT, nút COS, nút -, nút 1 , nút : ,nút 5;  nút =

Ta được kết quả gần đúng là 101,537.

Vậy phương trình \(\cos x =  – \frac{1}{5}\) có các nghiệm là :

\(x \approx 101,537 + k2\pi ,k \in Z\) và \(x \approx  – 101,537 + k2\pi ,k \in Z\)

c) Bấm liên tiếp nút SHIFT, nút TAN, nút căn , nút 2 , nút =

Ta được kết quả gần đúng là 54,736.

Vậy phương trình \(\tan x = \sqrt 2 \) có các nghiệm là :

\(x \approx 54,736 + k\pi ,k \in Z\)