Sách bài tập Toán 11 Bài 4 (Cánh diều): Hai mặt phẳng vuông góc


Giải SBT Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 33 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt nhau và đường thẳng a nằm trong (P). Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu a ⊥ (Q) thì (P) ⊥ (Q);

B. Nếu a ⊥ (Q) thì a ⊥ b với mọi b ⊂ (Q);

C. Nếu a ⊥ (Q) thì (P) // (Q);

D. Nếu a ⊥ (Q) thì a ⊥ d với d = (P) ⋂ (Q).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

· Đáp án A mang nội dung đúng, vì điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là: nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Từ đó ta có: a ⊂ (P) nếu a ⊥ (Q) thì (P) ⊥ (Q).

· Đáp án B và D mang nội dung đúng, vì theo định nghĩa của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Từ đó ta có: nếu a ⊥ (Q) thì a ⊥ b với mọi b ⊂ (Q);

Và nếu a ⊥ (Q) thì a ⊥ d với d = (P) ⋂ (Q) (vì d ⊂ (Q)).

· Đáp án C mang nội dung sai, vì hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau (giả thiết), nên chúng không thể song song với nhau.

Bài 34 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2Cho hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến d, đường thẳng a song song với (P). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Nếu a ⊥ d thì a ⊥ (Q);

B. Nếu a ⊥ d thì a // (Q);

C. Nếu a ⊥ d thì a // b với mọi b ⊂ (Q);

C. Nếu a ⊥ d thì a // c với mọi c // (Q).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

· Đáp án A đúng: Lấy mặt phẳng (R) bất kì chứa đường thẳng a và cắt (P) theo giao tuyến là đường thẳng a’.

Ta có: a’ = (R) ∩ (P) và a // (P) nên suy ra a // a’.

Nếu a ⊥ d, mà a // a’ nên a’ ⊥ d.

Lại có: (P) ⊥ (Q), d = (P) ∩ (Q), a’ ⊂ (P) và a’ ⊥ d nên suy ra a’ ⊥ (Q).

Mà a // a’ nên a ⊥ (Q).

Vậy nếu a ⊥ d thì a ⊥ (Q).

· Đáp án B sai: Vì nếu a ⊥ d thì a ⊥ (Q).

· Đáp án C sai: Vì nếu a ⊥ d thì a ⊥ (Q) nên suy ra a ⊥ b với mọi b ⊂ (Q).

· Đáp án D sai:

Lấy mặt phẳng (M) bất kì chứa đường thẳng c và cắt (Q) theo giao tuyến là đường thẳng c’.

Ta có: c’ = (M) ∩ (Q) và c // (Q) nên suy ra c // c’.

Nếu a ⊥ d thì a ⊥ (Q) (cmt), mà c’ ⊂ (Q) nên a ⊥ c’.

Ta thấy: a ⊥ c’, c // c’ nên suy ra a ⊥ c với mọi c // (Q).

Bài 35 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì:

A. Song song với nhau;

B. Trùng nhau;

C. Không song song với nhau;

D. Song song với nhau hoặc cắt nhau theo giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử ta có: (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R), gọi a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R).

Mà (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt nên a và b không trùng nhau.

Hơn nữa: a và b cùng nằm trong (R), nên xảy ra hai trường hợp:

· Nếu a // b, mà a ⊂ (P), b ⊂ (Q) nên suy ra (P) // (Q).

· Nếu a cắt b, mà a ⊂ (P) và b ⊂ (Q), nên ta gọi c = (P) ∩ (Q).

Do (P) ⊥ (R), (Q) ⊥ (R) và c = (P) ∩ (Q) nên suy ra c ⊥ (R).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 36 trang 103 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khi đó mặt phẳng (ABCD) cùng vuông góc với đường thẳng:

A. SA;

B. SB;

C. SC;

D. SD.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

Vì S ∈ (SAB) ∩ (SAC), A ∈ (SAB) ∩ (SAC) nên suy ra SA = (SAB) ∩ (SAC).

Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD), (SAC) ⊥ (ABCD) và SA = (SAB) ∩ (SAC)

Suy ra SA ⊥ (ABCD).

Bài 37 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Hình 26 gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau. Hãy chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hình 26 gợi nên hình ảnh một số cặp mặt phẳng vuông góc với nhau

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Mặt phẳng (S) là mặt thẳng đứng, nên nó vuông góc với cả ba mặt phẳng (P), (Q), (R).

Từ đó ta có thể chỉ ra 2 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là: (P) ⊥ (S), (Q) ⊥ (S).

Bài 38 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Chứng minh các định lí sau:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng đó thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.

b) Cho một mặt phẳng và một đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng đó. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Lời giải:

a)

Chứng minh các định lí sau: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng

Giả sử có ba mặt phẳng (P), (Q), (R) thỏa mãn (P) // (Q) và (R) ⊥ (P). Ta cần chứng minh (R) ⊥ (Q).

Gọi a = (P) ∩ (R), lấy d ⊂ (R) sao cho a ⊥ d.

Ta có: (R) ⊥ (P), a = (R) ∩ (P), d ⊂ (R) và a ⊥ d, suy ra d ⊥ (P).

Mà (P) // (Q), d ⊂ (R) nên d ⊥ (Q).

Suy ra (Q) ⊥ (R).

b) Xét đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần chứng minh: tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và chứa d.

Chứng minh tính tồn tại mặt phẳng (Q):

· Xét trường hợp d cắt (P) tại A.

Chứng minh các định lí sau: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng

Lấy M ∈ d sao cho M ≠ A. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

· Xét trường hợp d ⊂ (P) hoặc d // (P).

Chứng minh các định lí sau: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng

Lấy M ∈ d. Vẽ đường thẳng a đi qua M sao cho a ⊥ (P).

Suy ra d ∩ a = M.

Khi đó hai đường thẳng a và d xác định mặt phẳng (Q) hay mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và d.

Vì a ⊥ (P), a ⊂ (Q) nên ta có (P) ⊥ (Q).

Chứng minh tính duy nhất mặt phẳng (Q):

Giả sử tồn tại mặt phẳng (Q’) khác (Q) sao cho d ⊂ (Q’) và (P) ⊥ (Q’).

Ta thấy: d = (Q’) ∩ (Q).

Mà (P) ⊥ (Q), (P) ⊥ (Q’) nên suy ra d ⊥ (P).

Mâu thuẫn với giả thiết d không vuông góc với (P).

Như vậy, tồn tại duy nhất mặt phẳng (Q) sao cho d ⊂ (Q) và (P) ⊥ (Q).

Bài 39 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng (MAA’) ⊥ (BCC’B’).

Lời giải:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A

Vì tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM ⊥ BC.

Ta có: AA’ ⊥ (ABC), AA’ // BB’, suy ra BB’ ⊥ (ABC).

Mà AM ⊂ (ABC) nên BB’ ⊥ AM.

Ta có: AM ⊥ BC, AM ⊥ BB’, BC ∩ BB’ = B trong (BCC’B’).

Từ đó suy ra AM ⊥ (BCC’B’).

Mà AM ⊂ (MAA’) nên (MAA’) ⊥ (BCC’B’).

Bài 40 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a) (SAB) ⊥ (SBC);

b) (SAD) ⊥ (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật

a) Ta có: SA ⊥ (ABCD), BC ⊂ (ABCD) suy ra SA ⊥ BC.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB.

Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB, SA ∩ AB = A trong (SAB)

Suy ra BC ⊥ (SAB).

Hơn nữa BC ⊂ (SBC)

Từ đó ta có: (SAB) ⊥ (SBC).

b) Ta có: SA ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) suy ra SA ⊥ CD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD ⊥ AD.

Ta có: CD ⊥ SA, CD ⊥ AD, SA ∩ AD = A trong (SAD)

Suy ra CD ⊥ (SAD).

Hơn nữa CD ⊂ (SCD)

Từ đó ta có: (SAD) ⊥ (SCD).

Bài 41 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, (SAC) ⊥ (ABCD), (SBD) ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, (SAC) ⊥ (ABCD), (SBD) ⊥ (ABCD)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra: O ∈ AC ⊂ (SAC) và O ∈ BD ⊂ (SBD) nên O ∈ (SAC) ∩ (SBD).

Hơn nữa S ∈ (SAC) ∩ (SBD).

Nên SO = (SAC) ∩ (SBD).

Vì (SAC) ⊥ (ABCD), (SBD) ⊥ (ABCD) và SO = (SAC) ∩ (SBD), ta suy ra SO ⊥ (ABCD).

Mà AC ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

Do ABCD là hình thoi, nên AC ⊥ BD.

Ta có: AC ⊥ SO, AC ⊥ BD và SO ∩ BD = O trong (SBD).

Suy ra AC ⊥ (SBD).

Mặt khác AC ⊂ (SAC).

Từ đó ta có: (SAC) ⊥ (SBD).

Bài 42 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có ASB^=ASC^=90°. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.Chứng minh rằng (SAH) ⊥ (ABC).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có góc ASB = góc ASC = 90độ  Gọi H là trực tâm tam giác ABC

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do ASB^=ASC^=90° nên ta có: SA ⊥ SB và SA ⊥ SC.

Ta có: SA ⊥ SB, SA ⊥ SC và SB ∩ SC = S trong (SBC)

Suy ra SA ⊥ (SBC).

Mà BC ⊂ (SBC) nên SA ⊥ BC.

Ta có: BC ⊥ AH, BC ⊥ SA và AH ∩ SA = A trong (SAH)

Suy ra BC ⊥ (SAH).

Hơn nữa BC ⊂ (ABC).

Từ đó ta có (SAH) ⊥ (ABC).

Bài 43 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Chứng minh rằng:

a) (SAD) ⊥ (SAB);

b) (SBC) ⊥ (SAB);

c) (SAD) ⊥ (SBC).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S

a) Gọi H là hình chiếu của S trên AB.

Ta có: (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB và SH ⊂ (SAB), SH ⊥ AB

Suy ra SH ⊥ (ABCD).

Mà AD ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ AD.

Do ABCD là hình vuông nên ta có AD ⊥ AB.

Ta có: AD ⊥ SH, AD ⊥ AB và SH ∩ AB = H trong (SAB)

Suy ra AD ⊥ (SAB).

Hơn nữa AD ⊂ (SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB).

b) Vì SH ⊥ (ABCD) và BC ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ BC.

Do ABCD là hình vuông nên ta có BC ⊥ AB.

Ta có: BC ⊥ SH, BC ⊥ AB và SH ∩ AB = H trong (SAB)

Suy ra BC ⊥ (SAB).

Hơn nữa BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAB).

c) Vì AD ⊥ (SAB) và SB ⊂ (SAB) nên AD ⊥ SB.

Theo giả thiết: tam giác SAB vuông tại S nên ta có SB ⊥ SA.

Ta có: SB ⊥ AD, SB ⊥ SA và AD ∩ SA = A trong (SAD)

Suy ra SB ⊥ (SAD).

Hơn nữa SB ⊂ (SBC) nên (SAD) ⊥ (SBC).

Bài 44 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD)

Gọi H là giao điểm của BM và AC.

Suy ra: H ∈ BM ⊂ (SBM) và H ∈ AC ⊂ (SAC) nên ta có H ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Mà S ∈ (SBM) ∩ (SAC).

Từ đó suy ra: SH = (SBM) ∩ (SAC).

Ta có: (SAC) ⊥ (ABCD), (SBM) ⊥ (ABCD), SH = (SBM) ∩ (SAC).

Suy ra SH ⊥ (ABCD), tức H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).

Nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AH và bằng

Do ABCD là hình chữ nhật nên ADC^=90°.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:

AC2 = AD2 + DC2

AC=AD2+DC2=AD2+AB2 (vì DC = AB do ABCD là hình chữ nhật).

AC=4a2+3a2=5a.

Do M là trung điểm của AD nên AM=AD2=4a2=2a.

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC hay AM // BC.

Áp dụng hệ quả định lí Thalès với AM // BC ta có: AHHC=AMBC=2a4a=12.

AH=12HC.

AH=13AC=13.5a=5a3.

Vì SH ⊥ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại H có: cosφ=cosSAH^=AHSA=5a35a=13.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ