Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 6.7 trang 44 SBT Toán 12 Tập 2: Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, tỉnh X có hai đội tuyển môn Toán và môn Ngữ văn tham dự. Đội tuyển Toán có 10 em, đội tuyển Ngữ văn có 8 em. Xác suất có giải của mỗi em trong đội tuyển Toán là 0,8; trong đội tuyển Ngữ văn là 0,7. Sau giải lấy ngẫu nhiên một em của tỉnh X trong số các em thi học sinh giỏi môn Toán và môn Ngữ văn. Tính xác suất để đó là một em được giải.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Em học sinh đó thuộc đội tuyển Toán”.

⇒ $\overline{\mathrm{A}}$  là biến cố: “Em học sinh đó thuộc đội tuyển Ngữ văn”.

        B là biến cố: “Em đó được giải”.

Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = 10 + 8 = 18.

P(A) = $\frac{10}{18}$, P(B | A) = 0,8.

P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{8}{18}$, P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 0,7.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline{\mathrm{A}}$).P(B |$\overline{\mathrm{A}}$)

          = $\frac{10}{18}$ .0,8 + $\frac{8}{18}$.0,7

          = $\frac{34}{45}$ ≈ 0,7556.

Bài 6.8 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Giải ngoại hạng Anh có 20 đội. Hiện tại đội Tottenham xếp vị trí thứ 8. Trong trận tới nếu gặp đội xếp trên thì Tottenham có xác suất thắng là 0,2; xác suất thua là 0,5. Nếu gặp đội xếp dưới thì Tottenham có xác suất thắng là 0,5 và xác suất thua là 0,3.

Bốc thăm ngẫu nhiên một đội đấu với đội Tottenham trong trận tới. Tính xác suất để đội Tottenham hòa trong trận tới.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Tottenham gặp đội xếp trên”;

       B là biến cố: “Tottenham thắng”;

       C là biến cố: “Tottenham thua”;

       D là biến cố: “Tottenham hòa”.

Ta có: P(A) = $\frac{7}{19}$ ; P($\overline{\mathrm{A}}$) = 1 – $\frac{7}{19}$  = $\frac{12}{19}$ .

           P(D | A) = 1 – P(B | A) – P(C | A) = 1 – 0,2 – 0,5 = 0,3.

           P(D | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 1 – P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) – P(C | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 1 – 0,5 – 0,3 = 0,2.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(D) = P(A). P(D | A) + P($\overline{\mathrm{A}}$).P(D | $\overline{\mathrm{A}}$ )

         = $\frac{7}{19}$ .0,3 + $\frac{12}{19}$ .0,2 = $\frac{9}{38}$ ≈ 0,2368.

Bài 6.9 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Có hai túi kẹo. Túi I có 3 chiếc kẹo sô cô la đen và 2 chiếc kẹo sô cô la trắng. Túi II có 4 chiếc kẹo sô cô la đen và 3 chiếc kẹo sô cô la trắng. Từ túi I lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo. Nếu là chiếc kẹo sô cô la đen thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la đen vào túi II. Nếu là chiếc kẹo sô cô la trắng thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la trắng vào túi thứ II. Sau đó từ túi II lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo. Tính xác suất lấy được chiếc kẹo sô cô la trắng.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Lấy được chiếc kẹo sô cô la đen từ túi I”

       B là biến cố: “Lấy được chiếc kẹo sô cô la trắng từ túi II”.

Ta có: P(A) = $\frac{3}{5}$ , P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{2}{5}$ .

Nếu A xảy ra tức là lấy được chiếc kẹo sô cô la đen từ túi I thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la đen vào túi II. Khi đó túi II có 9 chiếc kẹo với 6 chiếc sô cô la đen, 3 chiếc kẹo sô cô la trắng.

Nếu A không xảy ra tức là chọn được chiếc kẹo sô cô la trắng từ túi I thì thêm 2 chiếc kẹo sô cô la trắng vào túi II. Khi đó túi II có 9 chiếc kẹo với 4 chiếc sô cô la đen, 5 chiếc sô cô la trắng.

Vậy P(B | A) = $\frac{3}{9}$ , P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{5}{9}$ .

Theo công thức tính xác suất toàn phần, ta được:

P(B) = P(A).P(B | A) + P($\overline{\mathrm{A}}$).P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ )

        = $\frac{3}{5}.\frac{3}{9}+\frac{2}{5}.\frac{5}{9}=\frac{19}{45}$ .

Bài 6.10 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Trong một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 40% sản phẩm. Phân xưởng II sản xuất 60% sản phẩm. Xác suất làm ra phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là 0,05 và 0,02. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là do phân xưởng I sản xuất.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng I”;

       B là biến cố: “Sản phẩm là phế phẩm”.

Khi đó, $\overline{\mathrm{A}}$ là biến cố: “Sản phẩm của phân xưởng II”

            $\overline{\mathrm{B}}$ là biến cố: “Sản phẩm không là phế phẩm”.

Ta có: P(A) = 0,4; P(B | A) = 0,05.

           P($\overline{\mathrm{A}}$) = 0,6; P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = 0,02.

Theo công thức Bayes, ta có: 

P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\overline{\mathrm{A}}\right)}$

              = $\frac{0,4.0,05}{0,4.0,05+0,6.0,02}=\frac{5}{8}$ .

Vậy xác suất để chọn được phế phẩm từ phân xưởng I là $\frac{5}{8}$ .

Bài 6.11 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Giá sách của Dũng có hai ngăn. Ngăn trên có 3 cuốn tiểu thuyết của các nhà văn Việt Nam và 2 cuốn tiểu thuyết của các nhà văn nước ngoài. Ngăn dưới chứa 4 cuốn tiểu thuyết của các nhà văn Việt Nam và 1 cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài.

Dũng chọn một cuốn sách để mang theo khi đi du lịch theo cách sau: Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu số chấm xuất hiện là 1 hoặc 2 thì chọn ngăn trên, nếu trái lại thì chọn ngăn dưới. Sau đó từ ngăn đã chọn lấy ngẫu nhiên một cuốn sách. Biết rằng cuốn sách Dũng chọn được là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài. Tính xác suất để cuốn sách thuộc ngăn trên.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Cuốn sách thuộc ngăn trên”.

       B là biến cố: “Cuốn sách là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài”.

Do đó, P(A | B) là xác suất lấy được cuốn sách thuộc ngăn trên là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài.

Ta có: P(A) = $\frac{1}{3}$ , P(B | A) = $\frac{2}{5}$ ,

           P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{2}{3}$ , P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{1}{5}$ .

Từ đó theo công thức Bayes ta có:

P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\overline{\mathrm{A}}\right)}$

             = $\left(\frac{1}{3}.\frac{2}{5}\right):\left(\frac{1}{3}.\frac{2}{5}+\frac{2}{3}.\frac{1}{5}\right)$  = $\frac{1}{2}$ .

Bài 6.12 trang 45 SBT Toán 12 Tập 2: Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có 12 con thỏ trắng và 13 con thỏ nâu. Chuồng II có 14 con thỏ trắng và 11 con thỏ nâu. Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt 6 chấm thì ta chọn chuồng I, nếu trái lại ta chọn chuồng II. Từ chuồng chọn được bắt ngẫu nhiên một con thỏ.

a) Giả sử bắt được con thỏ trắng. Tính xác suất để đó là con thỏ của chuồng II.

b) Giả sử bắt được con thỏ nâu. Tính xác suất để đó là con thỏ của chuồng I.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố: “Chọn được chuồng II”.

           B là biến cố: “Bắt được con thỏ trắng”.

Do đó, P(A | B)  là xác suất bắt được con thỏ trắng là con thỏ ở chuồng II.

           $\overline{\mathrm{A}}$  là biến cố: “Chọn được chuồng I”.

           $\overline{\mathrm{B}}$  là biến cố: “Bắt được con thỏ nâu”.

Ta có: P(A) = $\frac{5}{6}$; P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{1}{6}$; P(B | A) = $\frac{14}{25}$; P(B | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{12}{25}$ .

Theo công thức Bayes, ta có:

P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}|\overline{\mathrm{A}}\right)}$  = $\frac{35}{41}$ .

b) Ta cần tính P($\overline{\mathrm{A}}$  | $\overline{\mathrm{B}}$ ) là xác suất chọn được thỏ nâu ở chuồng I.

Ta có: P(A) = $\frac{5}{6}$; P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{1}{6}$; P( $\overline{\mathrm{B}}$ | $\overline{\mathrm{A}}$ ) = $\frac{13}{25}$, P( $\overline{\mathrm{B}}$ | A) = $\frac{11}{25}$ .

Theo công thức Bayes, ta có:

P($\overline{\mathrm{A}}$ | $\overline{\mathrm{B}}$ ) = $\frac{\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}}|\overline{\mathrm{A}}\right)}{\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{A}}\right).\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}}|\overline{\mathrm{A}}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{B}}|\mathrm{A}\right)}$  = $\frac{13}{68}$ .

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5

Bài 18: Xác suất có điều kiện

Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài tập cuối chương 6

Bài tập ôn tập cuối năm

Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2