Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản – Học học nữa học mãi

Giải SBT Toán 12 Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài 1 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x(x² – 4x);

b) y = −x³ + 3x² – 2.

Lời giải:

a) y = x(x² – 4x) = x³ – 4x²

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y’ = 3x² – 8x

           y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = $\frac{8}{3}$.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và $\left(\frac{8}{3};+\infty \right)$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{8}{3}\right)$.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = $\frac{8}{3}$, y_CT = $-\frac{256}{27}$.

Đồ thị hàm số:

b) y = −x³ + 3x² – 2

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y’ = −3x² + 6x

           y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = −2.

Đồ thị hàm số:

Bài 2 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = (m – 1)x³ + 2(m + 1)x² – x + m – 1 (m là tham số)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = −1.

b) Tìm giá trị của m để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = −2.

Lời giải:

a) Khi m = −1 ta được: y = −2x³ – x – 2.

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y’ = −6x² – 1

           y’ = 0 phương trình vô nghiệm.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên ℝ.

Hàm số không cực trị.

Đồ thị hàm số

b) Ta có: y = (m – 1)x³ + 2(m + 1)x² – x + m – 1               

               y’ = 3(m – 1)x² + 4(m + 1)x – 1

               y” = 6(m – 1)x + 4(m + 1).

               y” = 0 ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ x=\frac{-2\left(m+1\right)}{3\left(m-1\right)}\end{array}\right.$.

Để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ x₀ = −2.

⇔ $\left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ \frac{-2\left(m+1\right)}{3\left(m-1\right)}=-2\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ 2m+2=6m-6\end{array}\right.$ ⇔ m = 2.

Bài 3 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = 2x³ + 6x² – x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.

Lời giải:

Ta có: y = 2x³ + 6x² – x + 2

          y’ = 6x² + 12x – 1

          y” = 12x + 12

          y” = 0 ⇔ x = −1.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tọa độ I(−1; 7).

Với y'(−1) = −7, ta có phương trình tiếp tuyến tại I:

y = −7(x + 1) + 7 hay y = −7x.

Bài 4 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số y = −x³ – 3x² + mx + 1 có tâm đối xứng nằm trên trục Ox? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?

Lời giải:

Ta có: y = −x³ – 3x² + mx + 1

           y’ = −3x² – 6x + m

           y” = −6x – 6;

           y” = 0 ⇔ x = −1.

Tâm đối xứng I của đồ thị hàm số có tung độ y_I = −m – 1.

I nằm trên trục Ox nên y_I = 0 ⇔ = −m – 1 = 0 ⇔ m = −1.

Khi m = −1, hàm số trở thành y = −x³ – 3x² − x + 1 và y’ = −3x² – 6x – 1.

Phương trình y’ = 0 có ∆ . 0 nên có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua I(−1; 0), nghĩa là tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Bài 5 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$;

b) y = 2 – $\frac{1}{1+x}$.

Lời giải:

a) y = 3 + $\frac{1}{x}$

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Giới hạn của hàm số:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=3$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=3$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=+\infty$; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(3+\frac{1}{x}\right)=-\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0.

Ta có: y’ = $-\frac{1}{x^2}$

           y’ < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) y = 2 – $\frac{1}{1+x}$

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Giới hạn của hàm số:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{1+x}\right)=2$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2-\frac{1}{1+x}\right)=2$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2.

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\left(2-\frac{1}{1+x}\right)=-\infty$; $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\left(2-\frac{1}{1+x}\right)=+\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

Ta có bảng biến thiên:

Ta có: y’ = $\frac{1}{{\left(1+x\right)}^2}$ > 0 với mọi x ≠ −1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Đồ thị hàm số:

Bài 6 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Ta đã biết đồ thị hàm số y = $\frac{2x-1}{x+1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường tiệm cận.

b) Với t tùy ý (t ≠ 0), gọi M và M’ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là x_M = x_I – t và x_M’ = x_I + t. Tìm các tung độ y(x_M) và y(x_M’). Từ đó, chứng minh rằng hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua I.

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 nên giao điểm I có tọa độ I(−1; 2).

b) Ta có: x_M = x_I – t = −1 – t ⇒ y_M = $\frac{2x_M-1}{x_M+1}$ = $\frac{2\left(-1-t\right)-1}{\left(-1-t\right)+1}$

                x_M’ = x_I + t = −1 + t ⇒ y_M’ = $\frac{2x_{M^{‘}}-1}{x_{M^{‘}}+1}$ = $\frac{2\left(-1+t\right)-1}{\left(-1+t\right)+1}$.

Do đó, y_M + y_M’ = $\frac{2\left(-1-t\right)-1}{\left(-1-t\right)+1}$ + $\frac{2\left(-1+t\right)-1}{\left(-1+t\right)+1}$ = 4 = 2y_I.

Mà x_M + x_M’ = (−1 – t) + (−1 + t) = −2 = 2x_I.

Vậy I là trung điểm của MM’ hay M và M’ đối xứng với nhau qua I.

Bài 7 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{2x-1}{-x+3}$. Chứng tỏ rằng đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Lời giải:

Cách 1:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, có: $\frac{2x-1}{-x+3}$ = −x (x ≠ 3).

⇔ 2x – 1 = −x(−x + 3)

⇔ 2x – 1 = x² – 3x

⇔ x² – 5x + 1 = 0

⇔ $\left\{\begin{array}{l}{3}^2-5.3+1=-5\ne 0\\ \Delta = {(–5)}^2-4.1=21>0\end{array}\right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 3.

Vậy đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

Cách 2:

Ta vẽ được đồ thị hàm số y = $\frac{2x-1}{-x+3}$ và đường thẳng y = −x trên cùng một hệ trục Oxy.

Ta thấy đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số y = $\frac{2x-1}{-x+3}$ tại hai điểm phân biệt.

Bài 8 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$;

b) $y=-2x+\frac{1}{2x+1}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$

 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}$ = 1 và $\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-x)=-1$ nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$ nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y’ = $\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$

           y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và y_CT = 2.

Đồ thị hàm số:

b) Tập xác định: D = ℝ\$\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=-\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=+\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}$ = −2 và $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y+2x\right)$ = 0 nên đường thẳng y = −2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }y=-\infty$ và $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }y=+\infty$ nên x = $-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y’ = $\frac{-2{\left(2x+1\right)}^2-2}{{\left(2x+1\right)}^2}$ = −2 – $\frac{2}{{\left(2x+1\right)}^2}$.

Vì y’ < 0 với mọi x ≠ $-\frac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số:

Bài 9 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$

a) Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) Với t tùy ý (t ≠ 0), gọi M và M’ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là x_M = x_I – t và x_M’ = x_I + t. so sánh các tung độ y_M và y_M’. Từ đó, suy ra rằng hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua I.

Lời giải:

a) Ta có: $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$ = x + 3 + $\frac{1}{x-1}$

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$. Do đó, x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x+3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-1}=0$. Do đó, y = x + 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Nhận thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = x + 3. Vậy giao điểm I có tọa độ I(1; 4).

b) Ta có: x_M = x_I – t = 1 – t; x_M’ = x_I + t = 1 + t

                y_M = $\frac{x_M^2+2x_M-2}{x_M-1}=\frac{{\left(1-t\right)}^2+2\left(1-t\right)-2}{\left(1-t\right)-1}$

               y_M’ = $\frac{x_{M^{‘}}^2+2x_{M^{‘}}-2}{x_{M^{‘}}-1}=\frac{{\left(1+t\right)}^2+2\left(1+t\right)-2}{\left(1+t\right)-1}$

Do đó, y_M + y_M’ = $\frac{{\left(1-t\right)}^2+2\left(1-t\right)-2}{\left(1-t\right)-1}$ + $\frac{{\left(1+t\right)}^2+2\left(1+t\right)-2}{\left(1+t\right)-1}$ = 8 = 2y_I.

Suy ra I là trung điểm của MM’ hay M và M’ đối xứng với nhau qua I.

Bài 10 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{\left(m-1\right)x-2}{m-2-x}$ (m là tham số).

Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục Oxy.

Lời giải:

Công thức hàm số có dạng y = $\frac{ax+b}{cx+d}$ với a = m – 1; b = −2; c = −1, d = m – 2.

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi hàm số nghịch biến và có tiệm cận đứng không ở bên trái trục Oy, tiệm cận ngang không ở bên dưới trục Ox, nghĩa là:

$\left\{\begin{array}{l}ad-bc<0\\ c\ne 0\\ \frac{a}{c}\ge 0\\ -\frac{d}{c}\ge 0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}\left(m-1\right)\left(m-2\right)-\left(-2\right)\left(-1\right)<0\\ -1\ne 0\\ \frac{m-1}{-1}\ge 0\\ \frac{m-2}{1}\ge 0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}0<m<3\\ m\le 1\\ m\ge 2.\end{array}\right.$

Vậy không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu.

Bài 11 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{x^2+2x-m}{x-1}$ (m là tham số).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi m = 2, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Lời giải:

a) y = $\frac{x^2+2x-m}{x-1}$

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Ta có: y’ = $\frac{x^2-2x+m-2}{{\left(x-1\right)}^2}$

a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ x² – 2x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ > 0 ⇔ 3 – m > 0 ⇔ m < 3.

Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi m < 3.

b) Nhận thấy m = 2 thỏa mãn điều kiện m < 3 nên khi đó hàm số có hai cực trị.

Với m = 2, ta có: y = $\frac{x^2+2x-2}{x-1}$ và y’ = $\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Phương trình y’ = 0  ⇔ $\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Với x = 0 thì y = 2, với x = 2 thì y = 6.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng y = ax + b.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{\begin{array}{l}a.0+b=2\\ a.2+b=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=2\end{array}\right.$.

Vậy y = 2x + 2.

Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Các bước khảo sát hàm số

1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Xét sự biến thiên của hàm số Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) Lập BBT của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng 3. Vẽ đồ thị của hàm số Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị: cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (trong trường hợp đơn giản), … Nhận xét về đặc điểm của đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có)

2. Khảo sát hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d(a\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-4$

1. Tập xác định của hàm số: R

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x$. Vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
• Trên khoảng $\left(0;2\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến. Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó
• Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-4$. Hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại
• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }$
• BBT:

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;4\right)$
• Ta có: y = 0 $\iff$x = -1 hoặc x = 2. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $\left(-1;0\right)$ và $\left(2;0\right)$
• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; – 2} \right)\

3. Khảo sát hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)$

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên:

• Ta có: $y^{\prime }=-\frac{3}{{(x-2)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$
• Hàm số không có cực trị
• Tiệm cận: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=1;\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}-\mathrm{\infty }=1$

                  $\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;-\frac{1}{2}\right)$
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(-1;0\right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

4. Khảo sát hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}(a\ne 0,p\ne 0)$ (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x-1}{x-2}$

1. Tập xác định của hàm số: R\{2}

2. Sự biến thiên: Viết $y=x+1+\frac{1}{x-2}$

• Ta có: $y^{\prime }=1-\frac{1}{{(x-2)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{{(x-2)}^2}$ . Vậy y’ = 0 $\iff$ x = 1 hoặc x = 3
• Trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)$ và $\left(3;+\mathrm{\infty }\right)$, y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này
• Trên các khoảng $\left(1;2\right)$ và $\left(2;3\right)$, y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này
• Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với $y_{CT}=5$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$; $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1

3. Đồ thị:

• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$
• Ta có: $y=0\iff x=\frac{1-\sqrt{5}}{2};x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};0\right)$
• Đồ thị hàm số nhận giao điểm I $\left(2;3\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng

5. Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ (f(t) được tính bằng nghìn người)

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 2022

b) Xem y = f(t) là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(t)

c) Đạo hàm của hàm số y = f(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó
• Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm ?

Giải:

a) Ta có: $f(52)=\frac{26.52+10}{52+5}=\frac{1362}{57}\approx 23,895$ (nghìn người)

Vậy số dân của thị trấn vào năm 2022 khoảng 23895 nghìn người

b)

1) Sự biến thiên

• Giới hạn tại vô cực và đường tiệm cận ngang:

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(t)=26$. Do đó, đường thẳng y = 26 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$f^{\prime }(t)=\frac{120}{{(t+5)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$

Hàm số đồng biến trên nửa khoảng $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị

2) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung (0;2)
• Đồ thị hàm số đi qua điểm (1;6). Vậy đồ thị hàm số $y=f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$, $t\ge 0$ được cho ở hình vẽ sau

c)

• Tốc độ tăng dân số vào năm 2022 của thị trấn đó là:

$f^{\prime }(52)=\frac{120}{{(52+5)}^2}=\frac{40}{1083}$

$f^{\prime }(t)=0,192\iff \frac{120}{{(t+5)}^2}=0,192\iff (t+5{)}^2=625\iff t=20$ (do $t\ge 0$)

Vậy vào năm 1990, tốc độ tăng dân số là 0,192 nghìn người/năm.

Sơ đồ tư duy Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian

Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ