I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (left( S right)) tâm (I), bán kính (R) và đường thẳng (Delta ) (đi qua (M) và có VTCP (overrightarrow u )). Khi đó:
+) (Delta cap left( S right) = emptyset Leftrightarrow dleft( {I,Delta } right) > R).
+) (Delta cap left( S right) = left{ H right} Leftrightarrow dleft( {I,Delta } right) = R).
+) (Delta cap left( S right) = left{ {A,B} right} Leftrightarrow dleft( {I,Delta } right) < R).
ở đó ({R^2} = {d^2}left( {I,Delta } right) + dfrac{{A{B^2}}}{4}) và (AB = 2sqrt {{R^2} – {d^2}left( {I,Delta } right)} )
II. Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Phương pháp:
Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
– Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với (R).
– Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.
Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.
– Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.
– Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.
– Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
III. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước
Phương pháp:
– Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.
– Bước 2: Xét phương trình giao điểm của (d) và (left( S right)), điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất.
IV. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu
Phương pháp chung:
Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.