I. Tích có hướng của hai véc tơ
– Định nghĩa: Cho các véc tơ (overrightarrow {{u_1}} = left( {{x_1};{y_1};{z_1}} right)) và (overrightarrow {{u_2}} = left( {{x_2};{y_2};{z_2}} right)). Tích có hướng của hai véc tơ (overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ) là véc tơ (overrightarrow u ), kí hiệu (overrightarrow u = left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right]) hoặc $overrightarrow u = overrightarrow {{u_1}} wedge overrightarrow {{u_2}} $ và được xác định bằng tọa độ như sau:
(left[ {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right] =) ( left( {left| {begin{array}{*{20}{c}}begin{array}{l}{y_1}\{y_2}end{array}&begin{array}{l}{z_1}\{z_2}end{array}end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}begin{array}{l}{z_1}\{z_2}end{array}&begin{array}{l}{x_1}\{x_2}end{array}end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}begin{array}{l}{x_1}\{x_2}end{array}&begin{array}{l}{y_1}\{y_2}end{array}end{array}} right|} right) =) ( left( {{y_1}{z_2} – {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} – {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}} right))
Véc tơ (overrightarrow u ) vuông góc với cả hai véc tơ (overrightarrow {{u_1}} ) và (overrightarrow {{u_2}} )
– Tính chất:
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] = – left[ {overrightarrow {{u_2}} ;overrightarrow {{u_1}} } right])
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] = overrightarrow 0 Leftrightarrow overrightarrow {{u_1}} ) cùng phương (overrightarrow {{u_2}} )
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] bot overrightarrow {{u_1}} ;left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right] bot overrightarrow {{u_2}} )
+) (left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right].overrightarrow {{u_3}} = 0 Leftrightarrow ) ba véc tơ (overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} ,overrightarrow {{u_3}} ) đồng phẳng.
+) (left| {left[ {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right]} right| = left| {overrightarrow {{u_1}} } right|.left| {overrightarrow {{u_2}} } right|sin left( {overrightarrow {{u_1}} ,overrightarrow {{u_2}} } right))
II. Ứng dụng tích có hướng
– Diện tích tam giác:
({S_{ABC}} = dfrac{1}{2}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right|)
– Diện tích hình bình hành:
({S_{ABCD}} = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AD} } right]} right| = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]} right|)
– Thể tích tứ diện:
({V_{ABCD}} = dfrac{1}{6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right].overrightarrow {AD} } right|)
– Thể tích khối hộp:
({V_{ABCD.A’B’C’D’}} = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AD} } right].overrightarrow {AA’} } right|)
Chú ý: Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:
+B1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột.
(begin{array}{*{20}{r}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}end{array})
+ B2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng.
+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.
Ví dụ: Cho hai véc tơ (overrightarrow u = left( {1;5;3} right)) và (overrightarrow v = left( {2; – 1;0} right)). Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.
Giải:
Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)
Vậy (left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right] = left( {3;6; – 11} right)).