Câu hỏi:
Cho các số thực dương (a,{rm{ }}b) thỏa mãn ({log _3}frac{{a + 1}}{{2b}} = 2b – 3a – 4). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = frac{2}{3}{b^3} – frac{9}{2}{b^2} + 6a + 6).
A. (min P =- frac{{40}}{3})
B. (min P = frac{{23}}{3})
C. (min P = 6)
D. (min P =- frac{{23}}{3})
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: ({log _3}frac{{a + 1}}{{2b}} = 2b – 3a – 4 Leftrightarrow {log _3}left( {a + 1} right) + 3a + 4 = {log _3}2b + 2b)
( Leftrightarrow {log _3}3left( {a + 1} right) + 3left( {a + 1} right) = {log _3}2b + 2b).
Xét hàm số (fleft( t right) = {log _3}t + t),(t > 0).
(f’left( t right) = frac{1}{{tln 3}} + 1 > 0,,,forall t > 0) ( Rightarrow )(f(t)) là hàm số đồng biến trên khoảng (left( {0; + infty } right)).
Do đó ((1) Leftrightarrow fleft( {3left( {a + 1} right)} right) = fleft( {2b} right) Leftrightarrow 3left( {a + 1} right) = 2b Leftrightarrow 3a = 2b – 3).
Vì (a > 0) nên (2b – 3 > 0 Leftrightarrow b > frac{3}{2}).
Khi đó (P = frac{2}{3}{b^3} – frac{9}{2}{b^2} + 2left( {2b – 3} right) + 6 = frac{2}{3}{b^3} – frac{9}{2}{b^2} + 4b = gleft( b right)) với (b > frac{3}{2}).
Có (g’left( b right) = 2{b^2} – 9b + 4 = left( {b – 4} right)left( {2b – 1} right)),
(g’left( b right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b = frac{1}{2},(l)\b = 4,,(tm)end{array} right.).
Bảng biến thiên:
Từ BBT ta có: (gleft( b right) =- frac{{40}}{3},), đẳng thức xảy ra khi (b = 4), (a = frac{5}{3}).
Vậy GTNN của biểu thức (P) bằng ( – frac{{40}}{3}).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit