Giải SGK Toán 11 Bài 32 (Kết nối tri thức): Các quy tắc tính đạo hàm


Giải bài tập Toán lớp 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

h = vot – 12gt2,

trong đó, v0 là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s2 là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Lời giải:

Phương trình chuyển động của vật là h = vot – 12gt2

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h’ = v0 – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm t1 = vog, tại đó vận tốc bằng v(t1) = v – gt1 = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t2 mà h(t2) = 0 nên ta có:

v0t212gt22=0 ⇔ t2 = 0 (Loại) hoặc t2=2v0g .

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t2) = v0 – gt2 = –v0 = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t2) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xn.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*).

Lời giải:

a)

Đặt y = f(x) = x3.

Với x0 bất kì, ta có:

y=f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0x3x03xx0

=limxx0xx0x2+xx0+x02xx0

=limxx0x2+xx0+x02=3x02.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y’ = 3x.

b)

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*) là y’ = nxn – 1.

HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x > 0.

Lời giải:

Đặt f(x) = y = x .

Với x0 > 0, ta có

y=f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0xx0xx0

=limxx0xx0xx0x+x0

=limxx01x+x0=12x0.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y=12x .

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x3 + x2)’ và (x3)’ + (x2)’

Lời giải:

a)

Đặt f(x) = y = x3 + x2­.

Với x0 bất kì, ta có:

y=f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0x3+x2x03x02xx0

=limxx0x3x03+x2x02xx0=limxx0xx0x2+xx0+x02+x+x0xx0

=limxx0x2+xx0+x02+x+x0=3x02+2x0

Vậy đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 là hàm số y’ = 3x2 + 2x.

b)

Ta có (x3)’ = 3x2 ; (x2)’ = 2x, do đó (x3)’ + (x2)’ = 3x2 + 2x.

Từ đó suy ra (x3 + x2)’ = (x3)’ + (x2)’ (cùng bằng 3x2 + 2x).

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=xx+1 ;

b) y=x+1x2+2 .

Lời giải:

a)

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:

y=xx+1=x.(x+1)x.(x+1)(x+1)2

=12xx+1x.1(x+1)2=12xx+12x2x(x+1)2

=x+12x2x(x+1)2=1x2x(x+1)2=1x2xx+12.

b)

Với x ≥ 0 ta có:

y’ = [(x+1)(x2+2)]’

= (x+1).(x2+2)+(x+1)(x2+2)’

= [(x)’+1′].(x2+2)+(x+1)[(x2)’+2′]

=12x.x2+2+x+1.2x=x2+22x+2xx+1.

3. Đạo hàm của hàm số hợp

HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u2 và u = x2 + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x.

b) Tính và so sánh: y'(x) và y’ (u) . u’ (x).

Lời giải:

a)

Công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x là:

y = (u(x))2 = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1.

b)

Ta có y'(x) = (x4 + 2x2 + 1)’ = 4x3 + 4x.

Lại có u'(x) = (x+ 1)’ = 2x ; y'(u) = (u2)’ = 2u.

Do đó, y’ (u) . u’ (x) = 2u . 2x = 4x(x2 + 1) = 4x3 + 4x.

Vậy y'(x) = y’ (u) . u’ (x).

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x – 3)10;

b) y = 1x2 .

Lời giải:

a)

y’ = [(2x – 3)10]’ = 10.(2x – 3). (2x – 3)’ = 10.(2x – 3). 2 = 20(2x – 3)9.

b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:

y’ = 1x2=121x2.1x2=2x21x2=x1x2 .

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn limh0sinhh=1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Lời giải:

a) Với h ≠ 0, ta có:

sin(x + h) – sin x = 2cosx+h+x2.sinx+hx2 = 2cos2x+h2.sinh2 .

b)

Với x0 bất kỳ ta có:

fx0=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0sinxsinx0xx0

=limxx02cosx+x02.sinxx02xx0

=limxx0sinxx02xx02.limxx0cosx+x02=cosx0.

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y’ = cos x.

Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=sinπ33x .

Lời giải:

Ta có y=π33x.cosπ33x=3cosπ33x .

HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cosx = sinπ2x , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Lời giải:

Ta có HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

=cosπ2x=sinx.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y’ = – sin x.

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=2cosπ42x .

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết y=tanx=sinxcosxxπ2+kπ,k , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức cotx=tanπ2x với xkπ (k, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Lời giải:

a) Ta có

y’ = (tanx)’ = sinxcosx

=(sinx).cosxsinx.(cosx)cos2x

=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.

b) Ta có

y=(cotx)=tanπ2x=1cos2π2x=1sin2x.

Luyện tập 5 trang 92 Tóan 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=2tan2x+3cotπ32x .

Lời giải:

Ta có:

Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

=2.2tanx.1cos2x+3.(2)sin2π32x

=4tanxcos2x+6sin2π32x.

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos2πtπ8 (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

v(t) = s'(t) =4 Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 114.2π.sin2πtπ8=8π.sin2πtπ8.

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

v(5)=8π.sin2π.5π89,6 (m/s).

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số Lôgarit

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = 1x , tìm giới hạn limx01+x1x .

b) Với y=1+x1x , tính ln y và tìm giới hạn của limx0lny .

c) Đặt t = ex – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn limx0ex1x .

Lời giải:

a)

Ta có: t = 1x , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

limx01+x1x=limt+1+1tt=e.

b) Với y=1+x1x , ta có:

ln y =ln1+x1x=1xln1+x .

Khi đó, limx0lny=limx0ln1+xx=1 .

c)

t = ex – 1 ⇔ ex = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: limx0ex1x=limt0tlnt+1=1 .

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn limh0ex1h=1 và đẳng thức ex + h – ex = ex(eh – 1), tính đạo hàm của hàm số y = ex tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức ax = exlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = ax.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x0, ta có:

fx0=limh0f(x0+h)f(x0)h=limh0ex0+hex0h

=limh0ex0eh1h=limh0ex0.limh0eh1h=ex0.

Vậy hàm số y = ex có đạo hàm là hàm số y’ = ex.

b)

Ta có: ax = ex.ln a nên (ax)’ = (ex.ln a)’ = (x.ln a)’ . ex.ln a = ex.ln a.ln a = ax.ln a.

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=ex2x ;

b) y = 3sin x .

Lời giải:

a)

y=ex2x=ex2x.x2x=2x1ex2x.

b)

y’ = (3sin x)’ = 3sin x . (sin x)’ . ln3 = 3sin x.cos x. ln3.

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn limt0ln1+tt=1 và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = lnx+hx=ln1+hx , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức logax=lnxlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = logax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x0 ta có:

fx0=limh0f(x0+h)fx0h=limh0ln(x0+h)lnx0h

=limh0ln1+hx0hx0.x0=limh01x0.limh0ln1+hx0hx0=1x0

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y’ = 1x .

b)

Ta có logax=lnxlna nên logax=lnxlna=1xlna .

Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log2(2x – 1).

Lời giải:

Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > 12 . Hàm số đã cho xác định trên 12;+ .

Ta có: y=2x12x1ln2=22x1ln2 .

Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+].

Lời giải:

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là đạo hàm của pH. Ta có:

pH = –log[H+] ⇒ (pH)’ = (–log[H+])’ = Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11.

Bài tập

Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 2x + 1;

b) y = x2 – 4x + 3.

Lời giải:

a)

y’ = (x3)’ – 3.(x2)’ + 2.(x)’ + 1′ = 3x2 – 6x + 2.

b) Với x > 0, ta có:

y’ = (x2)’ – 4. (x) ‘ + 3’ = 2x – 2x .

Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=2x1x+2 ;

b) y=2xx2+1 .

Lời giải:

a) Với x ≠ – 2, ta có:

y=2x1x+2=(2x1).(x+2)(2x1).(x+2)(x+2)2

=2(x+2)(2x1)(x+2)2=5(x+2)2.

b)

y=2xx2+1=(2x)(x2+1)2x.(x2+1)(x2+1)2

=2(x2+1)2x.2x(x2+1)2=2x2+2(x2+1)2.

Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin2x;

b) y = cos2x + sin2x;

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Lời giải:

a)

y’ = (x)’ . sin2x + x . (sin2x)’ = sin2x + x . 2 . sinx . cosx = sin2x + xsin2x.

b)

y’ = (cos2x)’ + (sin2x)’ = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x

= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.

c)

y’ = (sin3x)’ – (3sinx)’ = 3cos3x – 3cosx.

d) Với xkπ2k , ta có:

y’ = (tanx)’ + (cotx)’ = 1cos2x1sin2x .

Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = 23xx2 ;

b) y = log3(4x + 1).

Lời giải:

a) y=23xx2=3xx2.23xx2.ln2=32x.23xx2.ln2 .

b) Với x>-14 , ta có:

y=log34x+1=4x+14x+1ln3=44x+1ln3.

Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2sin23xπ4 . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Lời giải:

Ta có:

f(x)=4sin3xπ4.Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

=4.3.cos3xπ4.sin3xπ4

=12cos3xπ4.sin3xπ4=6sin6xπ2

Vì:

1sin6xπ2166sin6xπ26

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Bài 9.11 trang 94 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t2, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Lời giải:

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.

a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:

v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.

b)

Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t2 = 0 t=10107 .

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là v10107=9,8.10107=1410 (m/s).

Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Bài 9.12 trang 94 Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?

Lời giải:

Vận tốc của hạt sau t giây là:

v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)’.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).

Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài tập cuối chương 9

Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ