Xét các số thực dương (x,y) thỏa ({2024^{2left( {{x^2} – y + 2} right)}} – frac{{4x + y + 2}}{{{{left( {x + 2} right)}^2}}} ge 0.) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = y – 2x.) – Sách Toán


Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa \({2024^{2\left( {{x^2} – y + 2} \right)}} – \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \ge 0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = y – 2x.\)

A. \(2024\).

B. \(2025\).

C. \(\frac{1}{2}\).

D. \(1\).

Lời giải:

Từ giả thiết, ta suy ra \({2024^{2\left( {{x^2} – y + 2} \right)}} \ge \frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – y + 2} \right) \ge {\log _{2024}}\frac{{4x + y + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\,\,\,\left( 1 \right).\)

Đặt \(a = 4x + y + 2\) và \(b = {\left( {x + 2} \right)^2}\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(2\left( {b – a} \right) \ge {\log _{2024}}a – {\log _{2024}}b \Leftrightarrow {\log _{2024}}a + 2a \ge {\log _{2024}}b + 2b\,\,\,\left( 2 \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{2024}}t + 2t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2024}} + 2 > 0,\forall t > 0\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Khi đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) \ge f\left( b \right) \Leftrightarrow a \ge b \Leftrightarrow 4x + y + 2 \ge {\left( {x + 2} \right)^2} \Leftrightarrow y \ge {x^2} + 2.\)

Thay vào \(P,\) ta được \(P \ge {x^2} – 2x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 1 \ge 1.\)

Vậy \({P_{\min }} = 1 \Leftrightarrow x = 1,y = 3.\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024



Link Hoc va de thi 2024

Chuyển đến thanh công cụ