DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
20. Cho (f(x)) là một hàm đa thức bậc năm thoả mãn (fleft( 0 right) = 0). Hàm số(f’left( x right)) có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số (hleft( x right) = left| {fleft( {cos x} right) – frac{1}{3}{{cos }^3}x + {{cos }^2}x} right|)có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (left( {0;2pi } right))?
A.(13). B.(11). C.(9).
D. (7)
Lời giải
Do (f(x)) là một hàm đa thức bậc năm nên (f’left( x right)) là một hàm đa thức bậc bốn.
Dựa vào đồ thị ta nhận thấy (f’left( x right)) có dạng (f’left( x right) = a{x^4} + b{x^2} + c), đồ thị đi qua các điểm (A(0;1),,B(1;0)) và có điểm cực tiểu ({x_{CT}} = 1). Từ đó ta có:
(left{ begin{array}{l}f’left( 0 right) = 1\f’left( 1 right) = 0\f”left( 1 right) = 0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}c = 1\a + b + c = 0\4a + 2b = 0end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}c = 1\a = 1\b = – 2end{array} right. Rightarrow f'(x) = {x^4} – 2{x^2} + 1)
( Rightarrow f(x) = frac{{{x^5}}}{5} – frac{{2{x^3}}}{3} + x + c).
Do (fleft( 0 right) = 0 Rightarrow c = 0 Rightarrow f(x) = frac{{{x^5}}}{5} – frac{{2{x^3}}}{3} + x).
Xét hàm số (hleft( x right) = left| {fleft( {cos x} right) – frac{1}{3}{{cos }^3}x + {{cos }^2}x} right|), ta đặt (hleft( x right) = fleft( {cos x} right) – frac{1}{3}{cos ^3}x + {cos ^2}x).
∙ Tìm số cực trị của hàm số (y = h(x)).
(h'(x) = – sin x.f'(cos x) + {cos ^2}x.sin x – 2sin x.cos x).
(h'(x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin x = 0\f'(cos x) = {cos ^2}x – 2cos xend{array} right.).
+) Với (sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,k in mathbb{Z}) nên phương trình (sin x = 0) có 1 nghiệm đơn thuộc khoảng (left( {0;2pi } right))(left( 1 right)).
+) Với (f'(cos x) = {cos ^2}x – 2cos x).
Đặt (t = cos x,t in left[ { – 1;1} right) Rightarrow f’left( t right) = {t^2} – 2t)
( Leftrightarrow {t^2} – 2t = {t^4} – 2{t^2} + 1 Leftrightarrow {t^4} – 3{t^2} + 2t + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = alpha ,,,(alpha approx – 1,9403),,,(l)\t = beta ,,(beta approx – 0,3365),,(n)end{array} right.).
Với (t = beta in left( {0;1} right)) thì (cos x = beta ), khi đó (f'(cos x) = {cos ^2}x – 2cos x) có 2 nghiệm đơn thuộc khoảng (left( {0;2pi } right))(left( 2 right)).
Từ (left( 1 right),left( 2 right)) suy ra hàm số (y = h(x)) có 3 cực trị trên khoảng (left( {0;2pi } right))(*).
∙ Tìm số nghiệm của phương trình (h(x) = 0).
(t = cos x Rightarrow f(t) + frac{1}{3}{t^3} – {t^2} = 0)
( Leftrightarrow frac{1}{5}{t^5} – frac{2}{3}{t^3} + t + frac{1}{3}{t^3} – {t^2} = 0)
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0\frac{1}{5}{t^4} – frac{1}{3}{t^2} – t + 1 = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 0\t = a,,left( {a approx 1,69} right)(l)\t = b,,left( {b approx 0,86} right)end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l}cos x = 0\cos x = b,,left( {b approx 0,86} right)end{array} right.).
+ (cos x = 0 Leftrightarrow x = kpi + frac{pi }{2},,k in mathbb{Z} Rightarrow ) phương trình (h(x) = 0) có 2 nghiệm thuộc khoảng (left( {0;2pi } right))(left( 3 right)).
+ (cos x = b,,left( {b approx 0,86} right) Rightarrow ) phương trình (h(x) = 0) có 2 nghiệm thuộc khoảng (left( {0;2pi } right))(left( 4 right)).
Từ (left( 3 right),left( 4 right)), suy ra (h(x) = 0) có 4 nghiệm đơn trên khoảng (left( {0;2pi } right))(**).
Từ (*), (**) ta kết luận được hàm số (y = g(x)) đã cho có 7 điểm cực trị.
===========