DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
21. Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị hàm số (y = f’left( x right)) như hình vẽ sau:
giá trị của (a) để hàm số (gleft( x right) = left| {4fleft( x right) + {x^2} – a} right|) đồng biến trên khoảng (left( { – 2,;,0} right)) và nghịch biến trên khoảng (left( {0,;,4} right)) là
A. (a le 4fleft( { – 2} right) + 4).
B. (a < 4fleft( 4 right) + 16).
C. (a < 4fleft( { – 2} right) + 4).
D. (a le 4fleft( 4 right) + 16).
Lời giải
Xét hàm số (hleft( x right) = 4fleft( x right) + {x^2} – a)
Ta có, (h’left( x right) = 4left[ {f’left( x right) + frac{x}{2}} right])( Rightarrow h’left( x right) = 0 Leftrightarrow f’left( x right) + frac{x}{2} = 0)
Khi đó, nghiệm phương trình (f’left( x right) + frac{x}{2} = 0) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số(y = f’left( x right)) và đường thẳng (y = – frac{x}{2}) (hình vẽ)
Từ đây ta có (f’left( x right) + frac{x}{2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 2\x = 0\x = 4end{array} right.)
Bảng biến thiên
Gọi ({S_1},,,{S_2}) lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = f’left( x right)) và đường thẳng (y = – frac{x}{2}) trên đoạn (left[ { – 2,;,0} right]) và (left[ {0,;,4} right]), ta có
(left| {intlimits_{ – 2}^0 {left( {f’left( x right) – frac{x}{2}} right)} } right|dx = left. {left[ {fleft( x right) – {x^2}} right]} right|_{ – 2}^0 = {S_1})( Rightarrow 4left. {left[ {fleft( x right) – {x^2}} right]} right|_{ – 2}^0 = 4{S_1} Rightarrow hleft( 0 right) – hleft( { – 2} right) = 4{S_1}) (left( 1 right))
(left| {intlimits_0^4 {left( {f’left( x right) – frac{x}{2}} right)} dx} right| = left. {left[ { – fleft( x right) + {x^2}} right]} right|_0^4 = {S_2})( Rightarrow 4left. {left[ { – fleft( x right) + {x^2}} right]} right|_0^4 = 4{S_2} Rightarrow hleft( 0 right) – hleft( 4 right) = 4{S_2}) (left( 2 right))
Từ (left( 1 right)), (left( 2 right)) và ({S_2}, > {S_1}) ( Rightarrow hleft( { – 2} right) > hleft( 4 right))
Khi đó, yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi (hleft( 4 right) ge 0)( Leftrightarrow a le 4fleft( 4 right) + 16).
===========