DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
27. Cho hàm số (fleft( x right)) có đạo hàm liên tục trên (mathbb{R}), đồ thị hàm số (y = f’left( x right)) có đúng 4 điểm chung với trục hoành như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của (m) để hàm số (y = fleft( {{{left| x right|}^3} – 3left| x right| + m + 2021} right)) có 11 điểm cực trị ?
A. (0.)
B. (2.)
C. (5.)
D. (1.)
Lời giải
Đặt (gleft( x right) = fleft( {{x^3} – 3x + m + 2021} right))
(y = gleft( {left| x right|} right)) là hàm chẵn
Ta có các nhận xét sau :
– Hàm số (gleft( {left| x right|} right)) luôn nhận (x = 0) là cực trị.
– Mỗi cực trị dương của hàm số (gleft( x right)) sẽ tương ứng 2 cực trị của hàm số (gleft( {left| x right|} right))
– Các cực trị âm của hàm số (gleft( x right)) không có ý nghĩa gì đối với số cực trị của hàm số (gleft( {left| x right|} right))
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với : Tìm (m) để (gleft( x right) = fleft( {{x^3} – 3x + m + 2021} right)) có 5 điểm cực trị dương.
Ta có (g’left( x right) = left( {3{x^2} – 3} right)f’left( {{x^3} – 3x + m + 2021} right)).
(g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = – 1\f’left( {{x^3} – 3x + m + 2021} right) = 0{rm{ (1)}}end{array} right.)
Yêu cầu bài toán ( Leftrightarrow g’left( x right) = 0) có 5 nghiệm dương phân biệt
( Leftrightarrow ) phương trình ({rm{(1)}}) có (4) nghiệm dương phân biệt khác ({rm{1}})
Xét phương trình ({rm{(1)}}), ta được
(left[ begin{array}{l}{x^3} – 3x + m + 2021 = – 1\{x^3} – 3x + m + 2021 = 1\{x^3} – 3x + m + 2021 = 2\{x^3} – 3x + m + 2021 = 4end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x^3} – 3x + 2022 = – m\{x^3} – 3x + 2020 = – m\{x^3} – 3x + 2019 = – mend{array} right.) (phương trình cuối là nghiệm kép nên loại)
Ta xét bảng biến triên của đồ thị của 3 hàm số trên
Để phương trình ({rm{(1)}}) có (4) nghiệm dương khác (1) thì ( – m in left( {2020;2022} right)) hoặc ( – m in left( {2018;2019} right)).
Suy ra (m in left( { – 2022; – 2020} right) cup left( { – 2019; – 2018} right)). (m in mathbb{Z}) nên (m = – 2021).
===========