DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
38. Cho hàm số (y = fleft( x right) = a{x^5} + b{x^4} + c{x^3} + d{x^2} + ex + f,,,left( {a ne 0} right)) và hàm số (f’left( x right)) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi (gleft( x right) = fleft( x right) – frac{1}{3}{x^3} – frac{1}{2}{x^2} – 2x – m) . Hàm số (y = left| {gleft( x right)} right|) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị.
A. (5).
B. (6).
C. (9).
D. (8)
Lời giải
Nhận xét:
Từ đồ thị (f’left( x right) = 5a{x^4} + 4b{x^3} + 3c{x^2} + 2dx + e) suy ra (a > 0).
Ta có (g’left( x right) = f’left( x right) – {x^2} – x – 2) nên (mathop {lim }limits_{x to + infty } g’left( x right) = + infty ).
Ta có (g’left( x right) = f’left( x right) – {x^2} – x – 2).
Cho (g’left( x right) = 0 Leftrightarrow f’left( x right) = {x^2} + x + 2) (1) .
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị (y = f’left( x right)) và đồ thị hs
(y = {x^2} + x + 2).
(g’left( x right) = f’left( x right) – {x^2} – x – 2) là đa thức bậc 4 với hệ số lớn nhất (a > 0). .
Dựa đồ thị ta có (mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} g’left( x right) = c < 0) (với (c) là hằng số) và (mathop {lim }limits_{x to + infty } g’left( x right) = + infty ). Vậy phương trình (g’left( x right) = 0) có ít nhất 1 nghiệm ({x_0} > 1).
Dựa vào đồ thị (g’left( x right) = 0) có 3 nghiệm (left[ begin{array}{l}x = – 2\x = – 1\x = 1end{array} right.) .
Mà (g’left( x right) = f’left( x right) – {x^2} – x – 2 = 0) là phương trình bậc 4 có tối đa 4 nghiệm.
Kết luận: (g’left( x right) = 0) ( Leftrightarrow ) (left[ begin{array}{l}x = – 2\x = – 1\x = 1\x = {x_0} > 1end{array} right.) .
Cũng dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số (gleft( x right) = fleft( x right) – frac{1}{3}{x^3} – frac{1}{2}{x^2} – 2x – m) có 4 cực trị.
Phương trình (gleft( x right) = 0 Leftrightarrow fleft( x right) – frac{1}{3}{x^3} – frac{1}{2}{x^2} – 2x – m = 0) có tối đa 5 nghiệm phân biệt khác với các nghiệm (g’left( x right) = 0).
Vậy hàm số (y = left| {gleft( x right)} right|) có tối đa 9 điểm cực trị.