DẠNG TOÁN 46: CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
31. Cho hàm số (y = fleft( x right)) là một hàm đa thức bậc ba có (fleft( 0 right) = 0) và bảng xét dấu (f’left( x right)) như sau:
Hàm số (hleft( x right) = left| {fleft( {{x^2} – left| x right|} right)} right|) có số điểm cực trị là
A. (7).
B. (11).
C. (9).
D. (5)
Lời giải
● Cách 1:+
Từ bảng xét dấu (f’left( x right)) ta có (f’left( x right) = aleft( {x – 1} right)left( {x + 1} right),,,a > 0).
Đặt (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – left| x right|} right))
Ta có (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – sqrt {{x^2}} } right))
Nên (g’left( x right) = left( {2x – frac{x}{{sqrt {{x^2}} }}} right)f’left( {{x^2} – sqrt {{x^2}} } right))
( = left( {2x – frac{x}{{sqrt {{x^2}} }}} right)aleft( {{x^2} – sqrt {{x^2}} – 1} right)left( {{x^2} – sqrt {{x^2}} + 1} right))
Suy ra (g’left( x right) = 0)(left[ begin{array}{l}2x – frac{x}{{sqrt {{x^2}} }} = 0\{x^2} – sqrt {{x^2}} – 1 = 0\{x^2} – sqrt {{x^2}} + 1 = 0end{array} right.)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = pm frac{1}{2}\x = frac{{1 + sqrt 5 }}{2}\x = frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}end{array} right.) và (g’left( x right)) không xác định tại (x = 0).
Bảng biến thiên:
Ta có (gleft( {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right) = fleft( {{{left( {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right)}^2} – left| {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right|} right) = fleft( 1 right))
(gleft( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right) = fleft( {{{left( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right)}^2} – left| {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right|} right) = fleft( 1 right))
Và (gleft( 0 right) = fleft( {{{left( 0 right)}^2} – left| 0 right|} right) = fleft( 0 right))
Từ bảng bảng xét dấu (f’left( x right)) ta suy ra (fleft( 0 right) > fleft( 1 right)).
Theo giả thiết (fleft( 0 right) = 0) nên (fleft( 1 right) < 0).
Hay (gleft( 0 right) = fleft( 0 right) = 0) và (gleft( {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right) = gleft( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right) = fleft( 1 right) < 0).
Từ bảng biến thiên của hàm số (y = gleft( x right)) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số (y = hleft( x right) = left| {gleft( x right)} right|) như sau:
Nên hàm số (y = hleft( x right) = left| {gleft( x right)} right| = left| {fleft( {{x^2} – left| x right|} right)} right|) có 9 điểm cực trị.
● Cách 2:
Ta có (g’left( x right) = xleft( {2 – frac{1}{{left| x right|}}} right).f’left( {{x^2} – left| x right|} right)).
Suy ra (g’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2 – frac{1}{{left| x right|}} = 0\{x^2} – left| x right| = 1\{x^2} – left| x right| = – 1end{array} right.)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = pm frac{1}{2}\x = frac{{1 + sqrt 5 }}{2}\x = frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}end{array} right.) và (g’left( x right)) không xác định tại (x = 0).
Bảng biến thiên:
Ta có (gleft( {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right) = fleft( {{{left( {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right)}^2} – left| {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right|} right) = fleft( 1 right))
(gleft( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right) = fleft( {{{left( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right)}^2} – left| {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right|} right) = fleft( 1 right))
Và (gleft( 0 right) = fleft( {{{left( 0 right)}^2} – left| 0 right|} right) = fleft( 0 right))
Từ bảng bảng xét dấu (f’left( x right)) ta suy ra (fleft( 0 right) > fleft( 1 right)).
Theo giả thiết (fleft( 0 right) = 0) nên (fleft( 1 right) < 0).
Hay (gleft( 0 right) = fleft( 0 right) = 0) và (gleft( {frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2}} right) = gleft( {frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right) = fleft( 1 right) < 0).
Từ bảng biến thiên của hàm số (y = gleft( x right)) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số (y = hleft( x right) = left| {gleft( x right)} right|) như sau:
Nên hàm số (y = hleft( x right) = left| {gleft( x right)} right| = left| {fleft( {{x^2} – left| x right|} right)} right|) có 9 điểm cực trị.
Hoặc ta có thể giải bằng cách:
Ta có (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – left| x right|} right)) là hàm số chẵn nên chỉ cần xét hàm số (kleft( x right) = fleft( {{x^2} – x} right)) với (x > 0).
Từ số cực trị của hàm số (kleft( x right) = fleft( {{x^2} – x} right)), suy ra số cực trị của hàm số (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – left| x right|} right)).
Từ số cực trị của hàm số (gleft( x right) = fleft( {{x^2} – left| x right|} right)), suy ra số cực trị của hàm số (hleft( x right) = left| {fleft( {{x^2} – left| x right|} right)} right|).