DẠNG TOÁN CỰC TRỊ HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
8. Cho hàm số bậc bốn(y = fleft( x right))có đạo hàm liên tục trên (mathbb{R}). Biết(f(0) = 0) và hàm số(y = f’left( x right)) có đồ thị như hình vẽ bên dưới
Tìm số điểm cực trị của hàm số (gleft( x right) = left| {fleft( {{x^2}} right) – frac{2}{3}{x^3}} right|).
A. (3).
B. (7).
C. (6) D.(5).
Lời giải
Đăt $h(x)=fleft(x^{2}right)-frac{2}{3} x^{3}$, ta có $h(x)$ liên tuc trên $R$. Ta có:
$h^{prime}(x)=f^{prime}left(x^{2}right) cdot 2 x-2 x^{2}=2 xleft[f^{prime}left(x^{2}right)-xright] .$
$h^{prime}(x)=0 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x=0 \ f^{prime}left(x^{2}right)-x=0(*)end{array}right.$
+ Nếu $x<0$ thì $x^{2}>0$. Ta có: $f^{prime}left(x^{2}right) geq 0 ;-x>0$. Suy ra $left(^{*}right)$ vô nghiêm.
+ Nếu $x geq 0$ thì $left(^{*}right) Leftrightarrow f^{prime}(t)=sqrt{t}$ ( đăt $t=x^{2}$ yới $t geq 0$ )
Xét đồ thi hàm số $y=f^{prime}(t) ; y=sqrt{t}$
Ta thấy: $f^{prime}(t)=sqrt{t}$ có 2 nghiêm dương phân biêt là $a$ và 4 .
Suy ra $left(^{*}right)$ có 2 nghiêm dương phân biêt $sqrt{a} ; 2$.
Do đó $h^{prime}(x)$ có 3 nghiêm phân biệt $left(h^{prime}(x)right.$ đổi dấu khi $x$ qua 3 nghiêm đó) là $0 ; sqrt{a} ; 2$.
Từ giả thiết $f(x)$ là hàm số bâc bốn, kết hơp đồ thi $f^{prime}(x)$ suy ra $f(x)$ có dang
$f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e, a>0 .$
Ta có: $lim _{x rightarrow pm infty} h(x)=+infty, h(0)=f(0)-0=0$.
Nhìn vào lưới ô yuông và đồ thi hàm số $y=f^{prime}(x)$ ta thấy: Diên tích hình phẳng giới han
bởi đồ thi hàm số $y=f^{prime}(x), operatorname{truc} O x$, Oy và đường thẳng $x=4$ nhỏ hơn 4. Do đó ta có:
x$, Oy và đường thẳng $x=4$ nhỏ hơn 4. Do đó ta có:
$int_{0}^{4} f^{prime}(x) d x<4 Leftrightarrow f(4)-f(0)<4 Leftrightarrow f(4)<4$
Suy ra $h(2)=f(4)-frac{16}{3}<0$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=h(x)$ như sau:
===========