Câu hỏi:
Cho các số phức (z) thoả mãn (left| {z – 2i} right| = left| {z + 2} right|). Gọi (z) là số phức thoả mãn (left| {left( {2 – i} right)z + 5} right|) nhỏ nhất. Khi đó:
A. (0 < left| z right| < 1).
B. (1 < left| z right| < 2).
C. (2 < left| z right| < 3).
D. (left| z right| > 3).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi (Mleft( {x;y} right);,Aleft( {0;2} right);Bleft( { – 2;0} right)) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức (z;2i; – 2).
Từ giả thiết ( Rightarrow MA = MB)( Rightarrow M in Delta 😡 + y = 0) là đường trung trực của đoạn (AB).
Ta có : (P = left| {left( {2 – i} right)z + 5} right| = left| {left( {2 – i} right)left( {z + frac{5}{{2 – i}}} right)} right|)( = left| {2 – i} right|left| {z + 2 + i} right| = sqrt 5 .left| {z + 2 + i} right|).
Gọi (Nleft( { – 2; – 1} right))( Rightarrow P = sqrt 5 .MN). Do đó ({P_{min }} Leftrightarrow M{N_{min }})( Leftrightarrow M) là hình chiếu của (N) lên (Delta ).
Khi đó (MN:x – y + 1 = 0)
Tọa độ điểm (M) là nghiệm của hệ phương trình (left{ begin{array}{l}x + y = 0\x – y + 1 = 0end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = – frac{1}{2}\y = frac{1}{2}end{array} right.)( Rightarrow z = – frac{1}{2} + frac{1}{2}i)( Rightarrow left| z right| = frac{{sqrt 2 }}{2}).
Vậy (0 < left| z right| < 1).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức (z = a + bi) có phần thực là (a), phần ảo là (b) ((a,binmathbb) và (i^2=-1)).
Số phức bằng nhau (a + bi = c + di Leftrightarrow) (a=c) và (b=d.)
Số phức (z = a + bi) được biểu diễn bới điểm (M(a,b)) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức (z), kí hiệu là (left| z right| = overrightarrow = sqrt + } .)
Số phức liên hợp của số phức (z = a + bi) là (a-bi) kí hiệu là (overline z = a – bi.)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có (mathbbsubset mathbb.)
Số phức (bi)((binmathbb)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số (i) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng (z = a + bi(a,binmathbb)) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
(left| right| = left| z right|).
(z = overline z Leftrightarrow z) là số thực.
(z = – overline z Leftrightarrow z) là số ảo.