Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a-4b=4). Tính P=a+2b+3c khi biểu thức (left| 2a+b-2c+7 right|) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: ({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2a-4b=4Leftrightarrow {{left( a-1 right)}^{2}}+{{left( b-2 right)}^{2}}+{{c}^{2}}=9)

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức BCS, ta có kết quả sau:

(begin{align}
& left| 2a+b-2c+7 right|=left| 2left( a-1 right)+left( b-2 right)-2c+11 right|le left| 2left( a-1 right)+left( b-2 right)-2c right|+11 \
& overset{BCS}{mathop le },sqrt{left[ {{left( a-1 right)}^{2}}+{{left( b-2 right)}^{2}}+{{c}^{2}} right]left[ {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{left( -2 right)}^{2}} right]}+11=20. \
end{align}
)

Đẳng thức xảy ra khi:

(left{ begin{array}{l}
2left( {a – 1} right) + left( {b – 2} right) – 2c > 0\
frac{{a – 1}}{2} = frac{{b – 2}}{1} = frac{c}{{ – 2}}\
{left( {a – 1} right)^2} + {left( {b – 2} right)^2} + {c^2} = 9
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
a = 3\
b = 3\
c = – 2
end{array} right.)

Khi đó: (P=a+2b+3c=3+2.3+3.left( -2 right)=3.)