Cho dãy số (left( {{u}_{n}} right)) thỏa mãn: (u_{1}^{2}-4left( {{u}_{1}}+{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}-1 right)+4u_{n-1}^{2}+u_{n}^{2}=0,,forall nge 2,,nin mathbb{N}). Tính ({{u}_{5}}).

Dựa vào đề bài ta có:

(u_{1}^{2}-4left( {{u}_{1}}+{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}-1 right)+4u_{n-1}^{2}+u_{n}^{2}=0)

(Leftrightarrow u_{n}^{2}-4{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}+4u_{n-1}^{2}+u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4=0)

(Leftrightarrow {{left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} right)}^{2}}+{{left( {{u}_{1}}-2 right)}^{2}}=0)

Vì ({{left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} right)}^{2}}ge 0) và ({{left( {{u}_{1}}-2 right)}^{2}}ge 0) với mọi giá trị của ({{u}_{1}},{{u}_{n-1}}) và ({{u}_{n}}) nên dấu “=” xảy ra khi

(left{ begin{array}{l}
{left( {{u_n} – 2{u_{n – 1}}} right)^2} = 0\
{left( {{u_1} – 2} right)^2} = 0
end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{u_n} = 2{u_{n – 1}}\
{u_1} = 2
end{array} right..)

Dãy số (left( {{u}_{n}} right)) là một cấp số nhân với ({{u}_{1}}=2,) công bội q=2 nên ({{u}_{5}}={{u}_{1}}{{q}^{4}}=32.)