Hãy chọn trả lời đúng trước khi xem đáp án và lời giải bên dưới.
Đề thi thử TN THPT QG năm 2021 môn TOÁN
Gọi (overrightarrow {{u_1}} = left( { – 2;1;0} right)) và (overrightarrow {{u_2}} = left( {0;1; – 1} right)) lần lượt là 1 VTCP của (left( {{d_1}} right),,,left( {{d_2}} right)).
Gọi AB là đoạn vuông góc chung của (left( {{d_1}} right),,,left( {{d_2}} right)), với (Aleft( {4 – 2t;t;3} right) in {d_1}), (Bleft( {1;t’; – t’} right) in {d_2}).
Ta có: (overrightarrow {AB} = left( { – 3 + 2t;,,t’ – t;,, – t’ – 3} right)).
Vì AB là đoạn vuông góc chung của (left( {{d_1}} right),,,left( {{d_2}} right)) nên (left{ begin{array}{l}AB bot {d_1}\AB bot {d_2}end{array} right.).
( Rightarrow left{ begin{array}{l}overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_1}} = 0\overrightarrow {AB} .overrightarrow {{u_2}} = 0end{array} right.)( Rightarrow left{ begin{array}{l}left( {2t – 3} right).left( { – 2} right) + t’ – t = 0\t’ – t + t’ + 3 = 0end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = 1\t’ = – 1end{array} right.)
( Rightarrow Aleft( {2;1;3} right),,,Bleft( {1; – 1;1} right)).
Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng (left( {{d_1}} right),,,left( {{d_2}} right)) nhận AB là đường kính.
( Rightarrow ) Tâm mặt cầu là trung điểm của AB, có tọa độ (Ileft( {frac{3}{2};0;2} right)), bán kính (R = IA = sqrt {frac{1}{4} + 1 + 1} = frac{3}{2}).
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ({left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {y^2} + {left( {z – 2} right)^2} = frac{9}{4}).