Cho hàm số $fleft( x right)$ liên tục trên $left[ {0;,1} right]$ và $fleft( x right) + fleft( {1 – x} right) = frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}$, $forall x in left[ {0;,1} right]$.

Theo giả thiết, ta có: (fleft( x right) + fleft( {1 – x} right) = frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}, forall x in left[ {0;,1} right]) và (fleft( x right)) liên tục trên (left[ {0;,1} right]) nên (intlimits_0^1 {left[ {fleft( x right) + fleft( {1 – x} right)} right]{rm{d}}x} = intlimits_0^1 {frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}{rm{d}}x}  Leftrightarrow intlimits_0^1 {fleft( x right){rm{d}}x} + intlimits_0^1 {fleft( {1 – x} right){rm{d}}x} = intlimits_0^1 {frac{{{{left( {x + 1} right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{rm{d}}x} ) (1)

Đặt 1 – x = t thì ({rm{d}}x = – {rm{d}}t), với (x = 0 Rightarrow t = 1), với (x = 1 Rightarrow t = 0)

Do đó: (intlimits_0^1 {fleft( {1 – x} right){rm{d}}x} = – intlimits_1^0 {fleft( t right){rm{d}}t} = intlimits_0^1 {fleft( t right){rm{d}}t} = intlimits_0^1 {fleft( x right){rm{d}}x}  Rightarrow intlimits_0^1 {fleft( x right){rm{d}}x} + intlimits_0^1 {fleft( {1 – x} right){rm{d}}x} = 2intlimits_0^1 {fleft( x right){rm{d}}x} ) (2).

Lại có (intlimits_0^1 {frac{{{{left( {x + 1} right)}^2} + 2}}{{x + 1}}{rm{d}}x} = intlimits_0^1 {left( {x + 1 + frac{2}{{x + 1}}} right){rm{d}}x} = left. {left( {frac{{{x^2}}}{2} + x + 2ln left| {x + 1} right|} right)} right|_0^1 = frac{3}{2} + 2ln 2) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra (2intlimits_0^1 {fleft( x right){rm{d}}x} = frac{3}{2} + 2ln 2 Leftrightarrow intlimits_0^1 {fleft( x right){rm{d}}x} = frac{3}{4} + ln 2)