Cho hàm số . Tích phân (intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{fleft( 2{{sin }^{2}}x+3 right)sin 2xtext{d}x}) bằng

Ta có

(begin{align}

& underset{xto {{4}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{4}^{+}}}{mathop{lim }},left( 2x-4 right)=4;underset{xto {{4}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{4}^{-}}}{mathop{lim }},left( frac{1}{4}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x right)=4;fleft( 4 right)=4 \

& Rightarrow underset{xto {{4}^{+}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=underset{xto {{4}^{-}}}{mathop{lim }},fleft( x right)=fleft( 4 right) \

end{align})

Nên hàm số đã cho liên tục tại (x=4)

Xét (I=intlimits_{0}^{frac{pi }{2}}{fleft( 2{{sin }^{2}}x+3 right)sin 2xtext{d}x})

Đặt (2{{sin }^{2}}x+3=t)(Rightarrow )(sin 2xtext{d}x=frac{1}{2}text{d}t)

Với (x=0)(Rightarrow t=3)

(x=frac{pi }{2})(Rightarrow t=5)

(Rightarrow I=intlimits_{3}^{5}{fleft( t right)frac{1}{2}text{d}t}=frac{1}{2}intlimits_{3}^{5}{fleft( t right)text{d}t}=frac{1}{2}intlimits_{3}^{4}{left( frac{1}{4}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+t right)text{d}t}+frac{1}{2}intlimits_{4}^{5}{left( 2t-4 right)text{d}t}=frac{341}{96}).