Cho hs (y=fleft( x right)) có đạo hàm ({f}left( x right)={{left( x+1 right)}^{2}}left( x+3 right)left( {{x}^{2}}+2mx+5 right)

(f’left( x right) = {left( {x + 1} right)^2}left( {x + 3} right)left( {{x^2} + 2mx + 5} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = – 3\
{x^2} + 2mx + 5 = 0{rm{ }}left( 1 right)
end{array} right.)

Ta có (gleft( x right) = left{ begin{array}{l}
fleft( x right) & {rm{ }}khi{rm{ }}x ge 0\
begin{array}{*{20}{c}}
{fleft( { – x} right)}&{khi x

Để hàm số (y=gleft( x right)) có đúng 1 điểm cực trị

(Leftrightarrow ) khi hàm số (y=fleft( x right)) không có điểm cực trị nào thuộc khoảng (left( 0;+infty  right))

Trường hợp 1: Phương trình (left( 1 right)) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

(Leftrightarrow {{m}^{2}}-5le 0Leftrightarrow -sqrt{5}le mle sqrt{5})(*)

Trường hợp 2: Phương trình (left( 1 right)) có hai nghiệm ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) phân biệt thoả mãn ({{x}_{1}}

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
{m^2} – 5 > 0\
– 2m 0
end{array} right. Leftrightarrow m > sqrt 5 ) (**)

Từ (*) và (**) suy ra (mge -sqrt{5}). Vì m là số nguyên âm nên: (m=left{ -2;-1 right})