DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho (x), (y) là các số thực dương thỏa mãn (xy le 4y – 1). Giá trịnhỏ nhất của(P = frac{{6left( {2x + y} right)}}{x} + ln frac{{x + 2y}}{y}) là (a + ln b). Giá trị của tích (a.b) là
A. (45).
B. (81).
C. (108).
D. (115).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có (xy le 4y – 1) ( Leftrightarrow 4y ge xy + 1 ge 2sqrt {xy} ) ( Rightarrow 4y ge 2sqrt {xy} ) nên (sqrt {frac{x}{y}} le 2 Leftrightarrow frac{x}{y} le 4).
Xét (P = frac{{6left( {2x + y} right)}}{x} + ln frac{{x + 2y}}{y} = 12 + 6frac{y}{x} + ln left( {frac{x}{y} + 2} right)).
Đặt (t = frac{x}{y},,0 < t le 4). Suy (P = fleft( t right) = 12 + frac{6}{t} + ln left( {t + 2} right))
Ta có (f’left( t right) = – frac{6}{{{t^2}}} + frac{1}{{t + 2}} = frac{{{t^2} – 6t – 12}}{{{t^2}left( {t + 2} right)}} = frac{{{{left( {t – 3} right)}^2} – 21}}{{{t^2}left( {t + 2} right)}})
Với(0 < t le 4) thì ( – 3 < t – 3 le 1)( Rightarrow 0 le {left( {t – 3} right)^2} < 9) nên ({left( {t – 3} right)^2} – 21 < 0,,forall t in left( {0;,4} right]).
Do đó (f’left( t right) < 0) với (,forall t in left( {0;,4} right]). Hàm số (fleft( t right)) nghịch biến trên (left( {0;,4} right]).
Suy ra (fleft( t right) ge fleft( 4 right)) với (,forall t in left( {0;,4} right]) hay (P ge fleft( 4 right) = 12 + frac{6}{4} + ln 6 Leftrightarrow P ge frac{{27}}{2} + ln 6).
Vậy ({P_{min }} = frac{{27}}{2} + ln 6).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (left{ begin{array}{l}frac{x}{y} = 4\x.y = 1end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 2\y = frac{1}{2}end{array} right.).
Khi đó (a = frac{{27}}{2},,b = 6) nên (a.b = 81). Chọn (B).
Tư duy + Casio + Mẹo:
Ta có (xy le 4y – 1) ( Leftrightarrow x le frac{{4y – 1}}{y})((x,,y)là số thực dương nên không đổi dấu bất phương trình).
Ta lại có (P = frac{{6left( {2x + y} right)}}{x} + ln frac{{x + 2y}}{y} le frac{{6left( {2.frac{{4y – 1}}{y} + y} right)}}{{frac{{4y – 1}}{y}}} + ln frac{{frac{{4y – 1}}{y} + 2y}}{y}).
Như vậy ta có (left{ begin{array}{l}A = a + ln b = frac{M}{b} + ln b\M = a.b Rightarrow a = frac{M}{b}end{array} right.). Trong đó (M) là các đáp án
Qua đó nhận thấy key B có (x = b = 6).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========