Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y=frac{x}{x+1}) mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

Ta có (y=f’left( x right)=frac{1}{{{left( x+1 right)}^{2}}}.)

Phương trình tiếp tuyến của (left( C right)) tại điểm (Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( C right)left( {{x}_{0}}ne -1 right)) có dạng (y=f’left( {{x}_{0}} right)left( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}.)

Do tiếp tuyến cắt (Ox,Oy) lần lượt tại hai điểm (A,B) và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (y=x) hoặc (y=-x)

Suy ra (left[ begin{array}{l}
frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} = 1\
frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} = – 1left( {vn} right)
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x_0} = 0\
{x_0} = – 2
end{array} right..)

Với (x=1) phương trình tiếp tuyến là (y=x) loại vì A trùng O

Với (x=-2) phương trình tiếp tuyến là (y=x+2)

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn ycbt.