| 1. Môđun của số phức: Số phức (z = a + bi)được biểu diễn bởi điểm (Mleft( {a;b} right)) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ (overrightarrow {OM} ) được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu (left| z right| = left| {a + bi} right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} ) Tính chất ∙ [left| z right| = sqrt {{a^2} + {b^2}} = sqrt {zbar z} = left| {overrightarrow {OM} } right|] ∙ [left| z right| ge 0,;forall z in mathbb{C};,left| z right| = 0 Leftrightarrow z = 0]∙ [left| {z.z’} right| = left| z right|.left| {z’} right|] ∙ (left| {frac{z}{{z’}}} right| = frac{{left| z right|}}{{left| {z’} right|}},left( {z’ ne 0} right)) ∙ [left| {left| z right| – left| {z’} right|} right| le left| {z pm z’} right| le left| z right| + left| {z’} right|] (left| {kz} right| = left| k right|.left| z right|,k in mathbb{R}) Chú ý: (left| {{z^2}} right| = left| {{a^2} – {b^2} + 2abi} right| = sqrt {{{({a^2} – {b^2})}^2} + 4{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} = {left| z right|^2} = {left| {overline z } right|^2} = z.overline z ). Lưu ý: (left| {{z_1} + {z_2}} right| le left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow {z_1} = k{z_2},left( {k ge 0} right)) (left| {{z_1} – {z_2}} right| le left| {{z_1}} right| + left| {{z_2}} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow {z_1} = k{z_2},left( {k le 0} right)). (left| {{z_1} + {z_2}} right| ge left| {left| {{z_1}} right| – left| {{z_2}} right|} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow {z_1} = k{z_2},left( {k le 0} right)) (left| {{z_1} – {z_2}} right| ge left| {left| {{z_1}} right| – left| {{z_2}} right|} right|) dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow {z_1} = k{z_2},left( {k ge 0} right)) ({left| {{z_1} + {z_2}} right|^2} + {left| {{z_1} – {z_2}} right|^2} = 2left( {{{left| {{z_1}} right|}^2} + {{left| {{z_2}} right|}^2}} right)) [{left| z right|^2} = left| {overline z } right|left| z right| = {left| {overline z } right|^2}][] (forall z in mathbb{C})2. Một số quỹ tích nên nhớ |
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Cho số phức (z) thỏa mãn (left| {z – a – bi} right| = left| z right|), tìm ({left| z right|_{Min}}). Khi đó ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( {x;y} right)) biểu diễn số phức (z) là đường trung trực đoạn (OA) với (Aleft( {a;b} right))
(left{ begin{array}{l}{left| z right|_{Min}} = frac{1}{2}left| {{z_0}} right| = frac{1}{2}sqrt {{a^2} + {b^2}} \z = frac{a}{2} + frac{b}{2}iend{array} right.)
Cho số phức thỏa mãn điều kiện (left| {z – a – bi} right| = left| {z – c – di} right|.) Tìm({left| z right|_{min }}). Ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( {x;y} right)) biểu diễn số phức (z) là đường trung trực đoạn (AB) với (Aleft( {a;b} right),Bleft( {c;d} right))
({left| z right|_{Min}} = dleft( {O,AB} right) = frac{{left| {{a^2} + {b^2} – {c^2} – {d^2}} right|}}{{2sqrt {{{left( {a – c} right)}^2} + {{left( {b – d} right)}^2}} }})
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| {z – a – bi} right| = R > 0,left( {left| {z – {z_0}} right| = R} right)). Tìm ({left| z right|_{Max}},{left| z right|_{Min}}). Ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( {x;y} right)) biểu diễn số phức (z) là đường tròn tâm (Ileft( {a;b} right)) bán kính (R)
[left{ begin{array}{l}{left| z right|_{Max}} = OI + R = sqrt {{a^2} + {b^2}} + R = left| {{z_0}} right| + R\{left| z right|_{Min}} = left| {OI – R} right| = left| {sqrt {{a^2} + {b^2}} – R} right| = left| {left| {{z_0}} right| – R} right|end{array} right.]
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| {z – c} right| + left| {z + c} right| = 2a,,left( {a > c} right)) Khi đó ta có
Quỹ tích điểm (Mleft( {x;y} right)) biểu diễn số phức (z) là Elip: (frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + frac{{{y^2}}}{{{a^2} – {c^2}}} = 1)
(left{ begin{array}{l}{left| z right|_{Max}} = a\{left| z right|_{Min}} = sqrt {{a^2} – {c^2}} end{array} right.)
(Elip không chính tắc). Cho số phức (z) thỏa mãn điều kiện (left| {z – {z_1}} right| + left| {z – {z_2}} right| = 2a)
Thỏa mãn (2a > left| {{z_1} – {z_2}} right|).
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có
| Khi đề cho Elip dạng không chính tắc (left| {z – {z_1}} right| + left| {z – {z_2}} right| = 2a,,left( {left| {{z_1} – {z_2}} right| < 2a} right))và ({z_1},{z_2} ne pm c, pm ci) ). Tìm Max, Min của (P = left| {z – {z_0}} right|). Đặt (left{ begin{array}{l}left| {{z_1} – {z_2}} right| = 2c\{b^2} = {a^2} – {c^2}end{array} right.) | |
| Nếu (left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| = 0) | (left{ begin{array}{l}{P_{Max}} = a\{P_{Min}} = bend{array} right.) (dạng chính tắc) |
| Nếu (left{ begin{array}{l}left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| > a\{z_0} – {z_1} = kleft( {{z_0} – {z_2}} right)end{array} right.) | (left{ begin{array}{l}{P_{Max}} = left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| + a\{P_{Min}} = left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| – aend{array} right.) |
| Nếu (left{ begin{array}{l}left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| < a\{z_0} – {z_1} = kleft( {{z_0} – {z_2}} right)end{array} right.) | ({P_{Max}} = left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| + a) |
| Nếu (left| {{z_0} – {z_1}} right| = left| {{z_0} – {z_2}} right|) | ({P_{Min}} = left| {left| {{z_0} – frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} right| – b} right|) |
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
• Dạng 1: Cho số phức (z) thoả mãn (left| {z – {z_1}} right| = left| {z – {z_2}} right|). Tìm GTNN của (P = left| {z – {z_3}} right|).
Phương pháp: Đặt (Mleft( z right);Aleft( {{z_1}} right);Bleft( {{z_2}} right);Cleft( {{z_3}} right)) là điểm biểu diễn của các số phức (z;{z_1};{z_2};{z_3}). Khi đó từ giả thiết (left| {z – {z_1}} right| = left| {z – {z_2}} right|) suy ra (MA = MB) hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức (z) là đường trung trực (Delta ) của đoạn (AB.)
Ta có: (P = left| {z – {z_3}} right|)( = CM) nhỏ nhất khi (M) là hình chiếu của (C) lên (Delta )( Rightarrow {P_{min }} = dleft( {C;Delta } right)).
• Dạng 2: Cho số phức (z) thoả mãn (left| {z – {z_0}} right| = R). Tìm GTNN, GTLN của (P = left| {z – {z_1}} right|).
Phương pháp: Đặt (Mleft( z right);Ileft( {{z_0}} right);Eleft( {{z_1}} right)) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức (z;{z_0};{z_1}). Khi đó từ giả thiết (left| {z – {z_0}} right| = R)( Leftrightarrow IM = R Rightarrow M) thuộc đường tròn tâm (I) bán kính (R). Ta có: (P = left| {z – {z_1}} right| = ME) lớn nhất ( Leftrightarrow M{E_{max }}) và ({P_{min }} Leftrightarrow M{E_{min }}).
Khi đó: ({P_{max }} = IE + R) và ({P_{min }} = left| {IE – R} right|).
• Dạng 3: Cho số phức (z) thoả mãn (left| {z – {z_1}} right| = left| {z – {z_2}} right|). Tìm GTNN của (P = left| {z – {z_3}} right| + left| {z – {z_4}} right|).
Phương pháp: Đặt (Mleft( z right);Aleft( {{z_1}} right);Bleft( {{z_2}} right);Hleft( {{z_3}} right);Kleft( {{z_4}} right)) là các điểm biểu diễn số phức (z;{z_1};{z_2};{z_3};{z_4}). Khi đó từ giả thiết (left| {z – {z_1}} right| = left| {z – {z_2}} right|) suy ra (MA = MB), tập hợp điểm biểu diễn của số phức (z) là đường trung trực (Delta ) của (AB); (P = left| {z – {z_3}} right| + left| {z – {z_4}} right| = MH + MK).
TH1: (H,K) nằm khác phía so với đường thẳng (Delta ).
Ta có: (P = HM + KM ge HK). Dấu bằng xảy ra ( Leftrightarrow M equiv {M_0} = HK cap Delta ). Khi đó ({P_{min }} = HK).
TH2: (H,K) nằm cùngphía so với đường thẳng (Delta ).
Gọi(H’) là điểm đối xứng của (Delta ).
Ta có: (P = MH + MK = MH’ + MK ge H’K). Dấu bằng xảy ra khi (M equiv {M_0} = H’K cap Delta ).
Khi đó ({P_{min }} = H’K).
• Dạng 4: Cho số phức (z) thoả mãn (left| {z – {z_1}} right| = left| {z – {z_2}} right|). Tìm GTNN của (P = {left| {z – {z_3}} right|^2} + {left| {z – {z_4}} right|^2}).
Phương pháp: Đặt (Mleft( z right);Aleft( {{z_1}} right);Bleft( {{z_2}} right);Hleft( {{z_3}} right);Kleft( {{z_4}} right)) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức(z;{z_1};{z_2};{z_3};{z_4}).
Khi đó từ giả thiết ta có: (left| {z – {z_1}} right| = left| {z – {z_2}} right|) suy ra (MA = MB) hay tập hợp điểm biểu diễn của số phức (z) là đường trung trực (Delta ) của (AB).
Gọi (I) là trung điểm của (HK).
Ta có: (M{I^2} = frac{{M{H^2} + M{K^2}}}{2} – frac{{H{K^2}}}{4})( Rightarrow P = M{H^2} + M{K^2} = 2M{I^2} + frac{{H{K^2}}}{2}). Do đó ({P_{min }} Leftrightarrow M{I_{min }} Leftrightarrow M) là hình chiểu của (I) lên (Delta ). Khi đó ({P_{min }} = 2{M_0}{I^2} + frac{{H{K^2}}}{2}).
• Dạng 5: Cho số phức (z) thoả mãn (left| {z – {z_0}} right| = R). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức (P = {left| {z – {z_1}} right|^2} + {left| {z – {z_2}} right|^2}).
Phương pháp: Đặt (Mleft( z right);Aleft( {{z_1}} right);Bleft( {{z_2}} right);Ileft( {{z_0}} right)) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức (z;{z_1};{z_2};{z_0}).
Khi đó từ giả thiết (left| {z – {z_0}} right| = R Leftrightarrow IM = R)( Rightarrow )Tập hợp điểm biểu diễn (M) của số phức (z) là đường tròn tâm (I) bán kính (R).
Gọi (E) là trung điểm của (AB).
Ta có: (P = 2M{E^2} + frac{{A{B^2}}}{2}), do đó ({P_{max }} Leftrightarrow E{M_{max }} Leftrightarrow M equiv {M_2}) và ({P_{min }} Leftrightarrow E{M_{min }} Leftrightarrow M equiv {M_1}).
Khi đó: ({P_{max }} = 2{left( {EI + R} right)^2} + frac{{A{B^2}}}{2}); ({P_{min }} = 2{left( {EI – R} right)^2} + frac{{A{B^2}}}{2}).
• Dạng 6: Cho hai số phức ({z_1};{z_2}) thoả mãn (left| {{z_1} – {z_0}} right| = R) và (left| {{z_2} – {{rm{w}}_1}} right| = left| {{z_2} – {{rm{w}}_2}} right|), trong đó ({z_0};{{rm{w}}_1};{{rm{w}}_2}) là các số phức đã biết. Tìm GTNN của (P = left| {{z_1} – {z_2}} right|).
Phương pháp: Đặt (Mleft( {{z_1}} right);Nleft( {{z_2}} right);Ileft( {{z_0}} right);Aleft( {{{rm{w}}_1}} right);Bleft( {{{rm{w}}_2}} right))
(left| {{z_1} – {z_0}} right| = R)( Rightarrow M) thuộc đường tròn tâm (I) bán kính (R).
(left| {{z_2} – {{rm{w}}_1}} right| = left| {{z_2} – {{rm{w}}_2}} right|)( Rightarrow N) thuộc đường trung trực (Delta ) của đoạn (AB).
Ta có: (P = MN), do đó: ({P_{min }} = left| {dleft( {I;Delta } right) – R} right|).
• Dạng 7: Cho hai số phức ({z_1};{z_2}) thoả mãn (left| {{z_1} – {{rm{w}}_1}} right| = {R_1}) và (left| {{z_2} – {{rm{w}}_2}} right| = {R_2}) trong đó [{{rm{w}}_1};{{rm{w}}_2}] là các số phức đã biết. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức (P = left| {{z_1} – {z_2}} right|).
Phương pháp: Đặt (Mleft( {{z_1}} right);Nleft( {{z_2}} right);Ileft( {{{rm{w}}_1}} right);Kleft( {{{rm{w}}_2}} right)).
(left| {{z_1} – {{rm{w}}_1}} right| = {R_1})( Rightarrow M) thuộc đường tròn tâm (I) bán kính ({R_1}).
(left| {{z_2} – {{rm{w}}_2}} right| = {R_2})( Rightarrow N) thuộc đường tròn tâm (K) bán kính ({R_2}).
Ta có: (P = MN). Dựa vào các vị trí tương đối của hai đường tròn để tìm (M{N_{max }};,M{N_{min }}).
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Xét hai số phức ({z_1},,{z_2}) thỏa mãn (left| {{z_1}} right| = 1,left| {{z_2}} right| = 2) và (left| {{z_1} – {z_2}} right| = sqrt 3 ). Giá trị lớn nhất của (left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} right|) bằng
A. (5 – sqrt {19} .)
B. (5 + sqrt {19} .)
C. ( – 5 + 2sqrt {19} .)
D. (5 + 2sqrt {19} .)
LỜI GIẢI
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm Min,Max mođun của số phức.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Gọi ({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di) với (a,b,c,d in mathbb{R}.)
B2:Tính (left| {{z_1}} right|;left| {{z_2}} right|;left| {3{z_1} + {z_2}} right|.)
B3:Tính Áp dụng:(left| {z + z’} right| le left| z right| + left| {z’} right|) ( Rightarrow left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} right| le left| {3{z_1} + {z_2}} right| + left| { – 5i} right| = sqrt {19} + 5.)
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
LỜI GIẢI
Đặt ({z_1} = a + bi,{z_2} = c + di) với (a,b,c,d in mathbb{R}.) Theo giả thiết thì
({a^2} + {b^2} = 1,{rm{ }}{c^2} + {d^2} = 4,{rm{ }}{(a – c)^2} + {(b – d)^2} = 3.)
Do đó ({a^2} – 2ac + {c^2} + {b^2} – 2bd + {d^2} = 3 Rightarrow ac + bd = 1.)
Ta có (3{z_1} + {z_2} = 3(a + c) + (3b + d)i) nên
(left| {3{z_1} + {z_2}} right| = {(3a + c)^2} + {(3b + d)^2} = 9({a^2} + {b^2}) + ({c^2} + {d^2}) + 6(ac + bd) = 19.)
Áp dụng bất đẳng thức (left| {z + z’} right| le left| z right| + left| {z’} right|), ta có ngay
(left| {3{z_1} + {z_2} – 5i} right| le left| {3{z_1} + {z_2}} right| + left| { – 5i} right| = sqrt {19} + 5.)
các bạn XEM THÊM 10 CÂU TƯƠNG TỰ FILE DOC BEEB DƯỚI
https://drive.google.com/file/d/15K04aKz1A6BR41u9BGJq3m8m2vAFAJfy/view?usp=sharing