Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (left( {x;,y} right)) thoả mãn (0 < x le 2021) và ({3^x}left( {x + 1} right) = {27^y}y)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (left( {x;,y} right)) thoả mãn (0 < x le 2021) và ({3^x}left( {x + 1} right) = {27^y}y)?
A. (2019).
B. (2020).
C. (674).
D. (763).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: ({3^x}.left( {x + 1} right) = {27^y}.y)( Leftrightarrow {log _3}left[ {{3^x}.left( {x + 1} right)} right] = {log _3}left( {{{27}^y}.y} right))
( Leftrightarrow x + {log _3}left( {x + 1} right) = 3y + {log _3}y) ( Leftrightarrow left( {x + 1} right) + {log _3}left( {x + 1} right) = 3y + {log _3}y + {log _3}3) ( Leftrightarrow left( {x + 1} right) + {log _3}left( {x + 1} right) = 3y + {log _3}left( {3y} right),,,,,left( * right))
Xét hàm số (fleft( t right) = t + {log _3}t), với (t > 0).
(f’left( t right) = 1 + frac{1}{{tln 3}} > 0), (forall t > 0).
Suy ra hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên khoảng (left( {0;, + infty } right)).
Từ đó (left( * right) Leftrightarrow fleft( {x + 1} right) = fleft( {3y} right))( Leftrightarrow x + 1 = 3y)( Leftrightarrow x = 3y – 1).
Vì (0 < x le 2021) nên (0 < 3y – 1 le 2021)( Leftrightarrow frac{1}{3} < y le frac{{2022}}{3})( Rightarrow y in left{ {1;{kern 1pt} ,2;,3;,…;,674} right}).
Ứng với mỗi giá trị (y) nguyên dương cho ta một giá trị (x) nguyên dương.
Vậy có (674) cặp số nguyên dương (left( {x;,y} right)) thỏa yêu cầu bài toán.