Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của (y) để tồn tại số thực (x > 1) thỏa mãn phương trình (left( {{x^2}y – 8x + y – 3} right){log _9}y = {log _3}frac{{sqrt {8x – y + 4} }}{x})?
A. (5).
B. (4).
C. (3).
D. (6).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
(left( {{x^2}y – 8x + y – 3} right){log _9}y = {log _3}frac{{sqrt {8x – y + 4} }}{x})
Điều kiện: (left{ begin{array}{l}x > 1\y in {mathbb{Z}^ + }\8x – y + 4 > 0end{array} right.), phương trình trở thành:
(left( {{x^2}y – 8x + y – 3} right){log _3}y = 2{log _3}frac{{sqrt {8x – y + 4} }}{x})
( Leftrightarrow left( {{x^2}y – 8x + y – 3} right){log _3}y = {log _3}frac{{8x – y + 4}}{{{x^2}}})
( Leftrightarrow left( {{x^2}y – 8x + y – 3} right){log _3}y = {log _3}left( {8x – y + 4} right) – {log _3}{x^2})
( Leftrightarrow left( {{x^2}y – 8x + y – 4} right){log _3}y = {log _3}left( {8x – y + 4} right) – {log _3}left( {{x^2}y} right),,left( * right))
TH1: (y = 1)
(left( * right) Leftrightarrow {log _3}left( {8x + 3} right) – {log _3}left( {{x^2}} right),, = 0)
( Leftrightarrow {x^2} = 8x + 3,,left( {do,,x > 1} right))
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 4 + sqrt {19} left( N right)\x = 4 – sqrt {19} ,left( L right)end{array} right.)
( Rightarrow )Nhận (y = 1)
TH2: (y > 1)( Rightarrow {log _3}y > 0)
+Nếu ({x^2}y > 8x – y + 4) thì
(left{ begin{array}{l}VTleft( * right) > 0\VPleft( * right) < 0end{array} right.)( Rightarrow )Phương trình (left( * right)) vô nghiệm
+Nếu ({x^2}y < 8x – y + 4) thì
(left{ begin{array}{l}VTleft( * right) < 0\VPleft( * right) > 0end{array} right.)( Rightarrow )Phương trình (left( * right)) vô nghiệm
Do đó: (left( * right) Leftrightarrow {x^2}y = 8x – y + 4) ( Rightarrow y = frac{{8x + 4}}{{{x^2} + 1}} = fleft( x right))
(f’left( x right) = frac{{ – 8{x^2} – 8x + 8}}{{{{left( {{x^2} + 1} right)}^2}}})
(f’left( x right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{{ – 1 + sqrt 5 }}{2},left( L right)\x = frac{{ – 1 – sqrt 5 }}{2},left( L right)end{array} right.)
Bảng biến thiên
(YCBT Leftrightarrow y in left{ {2;3;4;5} right}).
Vậy có (5) giá trị nguyên dương của (y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======