Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) bất phương (left( {2x – 4} right)left( {{3^x} – y} right) < 0) trình có nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên không quá 7?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) bất phương (left( {2x – 4} right)left( {{3^x} – y} right) < 0) trình có nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên không quá 7?
A. (59049).
B. (59025).
C. (59024).
D. (2).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có (left( {2x – 4} right)left( {{3^x} – y} right) < 0) với (x in mathbb{Z})và (y in {mathbb{Z}^ + })
TH1: Nếu (left{ begin{array}{l}2x – 4 < 0\{3^x} – y > 0end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x < 4\{3^x} > yend{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < 2\x > {log _3}yend{array} right.).
Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi (y)bất phương trình có không quá (7) nghiệm nguyên, mà (x < 2) nên ta có ( – 6 le {log _3}y < 1) ( Leftrightarrow {3^{ – 6}} le y < 3.) Do (y) nguyên dương nên (y in left{ {1;2} right}).Suy ra có 2 giá trị (y)thỏa TH1.
TH2: (left{ begin{array}{l}2x – 4 > 0\{3^x} – y < 0end{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2x > 4\{3^x} < yend{array} right.)( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 2\x < {log _3}yend{array} right.).
Theo yêu cầu bài toán, ứng với mỗi (y) bất phương trình có không quá (7)nghiệm nguyên, mà (x > 2) nên ta có (3 < {log _3}y le 10) ( Leftrightarrow 27 < y le {3^{10}} Leftrightarrow 27 < y le 59049). Do (y) nguyên dương nên (y in left{ {28;29;…;59049} right}). Suy ra có 59022 giá trị(y) thỏa yêu TH2.
Vậy có (59024) giá trị nguyên dương (y) thỏa yêu cầu đề bài.