Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) có nhiều nhất (10) số nguyên (x) thỏa mãn (left( {{3^{x + 4}} – 1} right)left( {{3^x} – y – 1} right) < 0)?
DẠNG TOÁN 40 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT VẬN DỤNG – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương (y) sao cho ứng với mỗi (y) có nhiều nhất (10) số nguyên (x) thỏa mãn (left( {{3^{x + 4}} – 1} right)left( {{3^x} – y – 1} right) < 0)?
A. (2187).
B. (59048).
C. (59049).
D. (2186).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có (left( {{3^{x + 4}} – 1} right)left( {{3^x} – y – 1} right) < 0)( Leftrightarrow left( {{3^4}{{.3}^x} – 1} right)left( {{3^x} – y – 1} right) < 0)(left( 1 right))
Vì (y) nguyên dương nên (y + 1 > frac{1}{{{3^4}}}), khi đó ta có:
(left( 1 right) Leftrightarrow frac{1}{{{3^4}}} < {3^x} < y + 1)
( Leftrightarrow {log _3}frac{1}{{81}} < {log _3}{3^x} < {log _3}left( {y + 1} right))
( Leftrightarrow – 4 < x < {log _3}left( {y + 1} right))( Leftrightarrow x in left( { – 4,;,{{log }_3}left( {y + 1} right)} right)).
Ứng với mỗi số nguyên dương (y) có nhiều nhất (10) số nguyên (x in left( { – 4,;,{{log }_3}left( {y + 1} right)} right))
( Leftrightarrow )(0 < {log _3}left( {y + 1} right) le 7)( Leftrightarrow 1 < y + 1 le {3^7} Leftrightarrow 0 < y le 2186).
Vậy có (2186) giá trị nguyên (y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.