Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên (x) thỏa mãn(left( {{3^{{x^3}}} – frac{1}{{{9^{x + 6}}}}} right).left( {{{log }_5}left( {x + 4} right) – 2} right) le 0). (left( 1 right))
A. (25).
B. (26).
C. (24).
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tác giả: Hương Đào
Điều kiện xác định: (x > – 4).
Với điều kiện (x > – 4) ta có:
(left( 1 right))( Leftrightarrow left( {{3^{{x^3}}} – {9^{ – x – 6}}} right).left( {{{log }_5}left( {x + 4} right) – 2} right) le 0)( Leftrightarrow left( {{3^{{x^3}}} – {3^{ – 2x – 12}}} right).left( {{{log }_5}left( {x + 4} right) – 2} right) le 0).
( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{3^{{x^3}}} – {3^{ – 2x – 12}} ge 0\{log _5}left( {x + 4} right) – 2 le 0end{array} right.\left{ begin{array}{l}{3^{{x^3}}} – {3^{ – 2x – 12}} le 0\{log _5}left( {x + 4} right) – 2 ge 0end{array} right.end{array} right.)( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{x^3} ge – 2x – 12\0 < x + 4 le 25end{array} right.\left{ begin{array}{l}{x^3} le – 2x – 12\x + 4 ge 25end{array} right.end{array} right.) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}{x^3} + 2x + 12 ge 0\ – 4 < x le 21end{array} right.left( 2 right)\left{ begin{array}{l}{x^3} + 2x + 12 le 0\x ge 21end{array} right.left( 3 right)end{array} right.)
Xét hàm số: (fleft( x right) = {x^3} + 2x + 12)
Ta có:(f’left( x right) = 3{x^2} + 2 > 0{rm{ }}forall x in mathbb{R})
Suy ra hàm số (fleft( x right))đồng biến trên(mathbb{R}). Lại có (fleft( { – 2} right) = 0) do đó
(left( 2 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ge – 2\ – 4 < x le 21end{array} right.)( Leftrightarrow – 2 le x le 21).
(left( 3 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x le – 2\x ge 21end{array} right.).
Đối chiếu điều kiện (x in mathbb{Z})ta được(x in left{ { – 2; – 1;0;…;21} right}).
Tổng số (24) giá trị nguyên của (x) thỏa mãn.
Vậy chọn đáp án
C.
=======