Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên (y > 5) để tồn tại số thực (x) thỏa mãn ({log _{15}}left( {4x + 3y + 1} right) = {log _6}left( {{x^2} – 2x + {y^2}} right))?
A. (3.)
B. (0.)
C. (1.)
D. (2.)
GY:
Đặt ({log _{15}}left( {4x + 3y + 1} right) = {log _6}left( {{x^2} – 2x + {y^2}} right) = t Leftrightarrow left{ begin{array}{l}4x + 3y + 1 – {15^t} = 0\{left( {x – 1} right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1end{array} right.).
Hệ có nghiệm ( Leftrightarrow ) đường thẳng (Delta :4x + 3y + 1 – {15^t} = 0) và đường tròn (left( C right):{left( {x – 1} right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1) có điểm chung, với tâm (Ileft( {1;0} right))
(begin{array}{l} Leftrightarrow dleft( {I,Delta } right) le R Leftrightarrow frac{{left| {5 – {{15}^t}} right|}}{5} le sqrt {{6^t} + 1} Leftrightarrow {225^t} – {10.15^t} – {25.6^t} le 0\ Leftrightarrow {15^t} – 6.{left( {frac{2}{5}} right)^t} – 10 le 0end{array})
Xét hàm số (fleft( t right) = {15^t} – 6.{left( {frac{2}{5}} right)^t} – 10)
Đạo hàm (f’left( t right) = {15^t}.ln 15 – 6.{left( {frac{2}{5}} right)^t}ln frac{2}{5} > 0,forall t)
Do vậy: hàm số (fleft( t right)) đồng biến trên (mathbb{R}.)
Khi đó (fleft( t right) le 0 Leftrightarrow t le 0,9341)
Do ({left( {x – 1} right)^2} + {y^2} = {6^t} + 1) nên (left| y right| le sqrt {{6^t} + 1} ), dẫn đến (left| y right| le 6)
Kết hợp giả thiết ta suy ra (y = 6.)
Thử lại:
Với (y = 6), hệtrở thành
(left{ begin{array}{l}4x + 19 – {15^t} = 0\{left( {x – 1} right)^2} = {6^t} – 35end{array} right. Rightarrow {left( {frac{{{{15}^t} – 23}}{4}} right)^2} = {6^t} – 35 Leftrightarrow {225^t} + 1089 = {46.15^t} + {16.6^t})
Nếu (t < 0) thì ({15^t} < {1,6^t} < 1 Rightarrow {225^t} + 1089 > {46.15^t} + {16.6^t}).
Nếu (t ge 1 Rightarrow {15^t} > {6^t}), ta sẽ chứng minh ({225^t} + 1089 > {62.15^t}.)
Thật vậy, ta có ({225^t} + 1089 – {62.15^t} = {left( {{{15}^t} – 31} right)^2} + 128 > 0)
Dẫn đến ({225^t} + 1089 > {62.15^t} > {46.15^t} + {16.6^t}).
Nếu (0 le t le 1) thì ({15^t} le {15,6^t} le 6 Rightarrow {225^t} + 1089 > {46.15^t} + {16.6^t})
Vậyvô nghiệm.
=======