DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức (z) thỏa mãn (left| {z + 1 – 3i} right| = 3sqrt 2 ) và ({left( {z + 2i} right)^2})là số thuần ảo?
A.(1).
B. (2).
C. (3).
D. (4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi số phức (z) cần tìm có dạng (z, = ,a, + ,bi,,left( {a,,b, in ,mathbb{R}} right).) Khi đó ta có
+) (left| {z, + 1 – ,3i} right|, = ,3sqrt 2 , Leftrightarrow ,left| {a, + 1 + ,left( {b, – ,3} right)i} right|, = ,3sqrt 2 Leftrightarrow ,{left( {a + 1} right)^2}, + ,{left( {b, – ,3} right)^2}, = ,18,,left( 1 right).)
+) ({left( {z, + ,2i} right)^2} = ,{left[ {,a, + left( {b + 2} right)i} right]^2} = {a^2} – {left( {b + 2} right)^2} + 2aleft( {b + 2} right)i.)
({left( {z + 2i} right)^2}) là số thuần ảo khi và chỉ khi ({a^2}, – ,{left( {b, + ,2} right)^2}, = ,0, Leftrightarrow left[ begin{array}{l}a = b + 2\a = – left( {b + 2} right)end{array} right..)
Với (a = b + 2) thay vào (left( 1 right)) ta được phương trình (2{b^2} = 0 Leftrightarrow b = 0 Leftrightarrow a = 2). Tìm được (z = 2)
Với (a = – b – 2) thay vào (left( 1 right)) ta được phương trình (2{b^2} – 4b – 8 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}b = 1 + sqrt 5 \b = 1 – sqrt 5 end{array} right.). Tìm được (left[ begin{array}{l}z = – 3 – sqrt 5 + left( {1 + sqrt 5 } right)i\z = – 3 + sqrt 5 + left( {1 – sqrt 5 } right)iend{array} right.)
Vậy có 3 số phức thỏa mãn bài toán.