DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức (z) thỏa mãn (left| {z + i} right| = 2) và (left( {z + 2} right)left( {overline z – 4i} right)) là số thuần ảo?
A.(0).
B. (2).
C. (1).
D. (4).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử (z = x + yi)(left( {x,;y in mathbb{R}} right)) và (Mleft( {x;;;y} right))là điểm biểu diễn của số phức (z). Ta có
+ (left| {z + i} right| = 2)( Leftrightarrow )(left| {x + yi + i} right| = 2)( Leftrightarrow )(left| {x + left( {y + 1} right)i} right| = 2)( Leftrightarrow )(sqrt {{x^2} + {{left( {y + 1} right)}^2}} = 2)( Leftrightarrow )({x^2} + {left( {y + 1} right)^2} = 4)
( Rightarrow )(M) thuộc đường tròn (left( {{C_1}} right)) tâm ({I_1}left( {0;;; – 1} right)), bán kính ({R_1} = 2).
+ (left( {z + 2} right)left( {overline z – 4i} right) = left( {x + yi + 2} right)left( {x – yi – 4i} right) = left[ {left( {x + 2} right) + yi} right]left[ {x – left( {y + 4} right)i} right])
( = xleft( {x + 2} right) + yleft( {y + 4} right) + left[ {xy – left( {x + 2} right)left( {y + 4} right)} right]i)
( = xleft( {x + 2} right) + yleft( {y + 4} right) – left( {4x + 2y + 8} right)i)
(left( {z + 2} right)left( {overline z – 4i} right)) là số thuần ảo ( Leftrightarrow )(xleft( {x + 2} right) + yleft( {y + 4} right) = 0)( Leftrightarrow ) ({x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0)
( Rightarrow )(M) thuộc đường tròn (left( {{C_2}} right)) tâm ({I_2}left( { – 1;;; – 2} right)), bán kính ({R_2} = sqrt 5 )
Đến đây ta có (M) là giao điểm của (left( {{C_1}} right)) và (left( {{C_2}} right)).
Ta có ({I_1}{I_2} = sqrt 2 )( Rightarrow )({R_2} – {R_1} < {I_1}{I_2} < {R_1} + {R_2})( Rightarrow )(left( {{C_1}} right)) cắt (left( {{C_2}} right)) tại (2) điểm phân biệt.
Vậy có (2) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.