Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (left| z right|=sqrt{2}) và (left( z+2i right)left( overline{z}-2 right)) là số thuần ảo?

Đặt (text{w}=left( z+2i right)left( overline{z}-2 right))

(=z.overline{z}-2z+2ioverline{z}-4i)

(={{left| z right|}^{2}}-2z+2ioverline{z}-4i)

(=2-2z+2ioverline{z}-4i)

Đặt (z=x+yileft( x;yin mathbb{R} right)Rightarrow overline{z}=x-yi,) khi đó ta có:

(text{w}=2-2z+2ioverline{z}-4i)

(=2-2left( x+yi right)+2ileft( x-yi right)-4i)

(=2-2x-2yi+2xi+2y-4i)

(=left( 2-2x+2y right)+left( 2x-2y-4 right)i)

Vì (text{w}] là số thuần ảo nên (2-2x+2y=0Leftrightarrow x=y+1.)

Lại có (left| z right|=2Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4Rightarrow {{left( y+1 right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+2y-3=0Leftrightarrow y=frac{-1pm sqrt{7}}{2}.)

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.